作业帮开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即a3/T2=k,k是一个所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周处理,请你
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 15:11:43
开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即a3/T2=k,k是一个所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周处理,请你
开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即a3/T2=k,k是一个所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周处理,请你推导出太阳系中该常量k的表达式,已知引力常量为G,太阳的质量为M太.
开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即a3/T2=k,k是一个所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周处理,请你
把星球作的运动看成匀速圆周运动.这时,万有引力提供向心力.用质量、角速度、轨道半径表示出向心力,这样就可以写出一个方程.再将方程中的角速度用周期、圆周率表示.再用绕同一中心天体运的星体列一个方程,两式相比就可证明开普勒第三定律：
万有引力F=GMm/（R^2）（1）
向心力Fn=mv^2/R（2）
（1）=（2）,求出v^2=GM/R（3）
又T^2=（2πR/v）^2（4）
将（3）代入（4）即可
R^3/T^2=K
=GM/4π^2=R^3/T^2
R为运行轨道半径
T=行星公转周期
K=常数=GM/4π^2
这种方法只局限于匀速圆周运动的轨道模型,但现实中的星体运动的轨道都为椭圆,于是便有以下推导：
利用微元,矢径R在很小的Δt时间内,扫过面积为ΔS,矢径R与椭圆该点的切线方向夹角为α,椭圆的弧长为ΔR.在Δt→0时,扫过面积可以看作为三角形,
ΔS=1/2*R*ΔR*sinα
面积速度为 ΔS/Δt=1/2R*ΔR*sinα/Δt=1/2*Rv*sinα
各行星绕太阳运行周期为T
设椭圆半长轴为a、半短轴为b、太阳到椭圆中心的距离为c
则行星绕太阳运动的周期T=πab/(1/2*r*v*sinα).
选近日点A和远日点B来研究,由ΔS相等可得1/2*vA*RA=1/2*rB*RB
从近日点运动到远日点的过程中,根据机械能守恒定律得：
1/2*m*vA^2-GMm/rA=1/2*mvB^2-GMm/rB
得：vA^2=2GMrb/（（rA+rB）/rA）
由几何关系得：rA=a-c rB=a+c a^2=b^2+c^2
所以 vA=√（GM/a）*√（rB/rA）
△S/△t=1/2*rA*vA=1/2*√（GM/a）*√（rA*rB）=b/2*√（GM/a）
T=π*ab/(△S/△t)=2πa*√（a/GM）
整理得T^2/a^3=4π^2/GM
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