函数f(x)=x^2+2x+a/x.x∈[1,+∞] (1)当a=1/2时求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0成立,求实数a的取值范围x^2+2x+a整个除以x.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/06 17:17:38
![函数f(x)=x^2+2x+a/x.x∈[1,+∞] (1)当a=1/2时求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0成立,求实数a的取值范围x^2+2x+a整个除以x.](/uploads/image/z/365833-1-3.jpg?t=%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%5E2%2B2x%2Ba%2Fx.x%E2%88%88%5B1%2C%2B%E2%88%9E%5D+%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%BD%93a%3D1%2F2%E6%97%B6%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8Fx%E2%88%88%5B1%2C%2B%E2%88%9E%5D%2Cf%28x%29%3E0%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4x%5E2%2B2x%2Ba%E6%95%B4%E4%B8%AA%E9%99%A4%E4%BB%A5x.)
函数f(x)=x^2+2x+a/x.x∈[1,+∞] (1)当a=1/2时求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0成立,求实数a的取值范围x^2+2x+a整个除以x.
函数f(x)=x^2+2x+a/x.x∈[1,+∞] (1)当a=1/2时求函数f(x)的最小值
(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0成立,求实数a的取值范围
x^2+2x+a整个除以x.
函数f(x)=x^2+2x+a/x.x∈[1,+∞] (1)当a=1/2时求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0成立,求实数a的取值范围x^2+2x+a整个除以x.
(1)当a=1/2时 x∈[1,+∞]
∴f(x)=(x^2+2x+1/2)/x=x+1/2x+2
∴对f(x)求导得: f'(x)=1-1/(4x^2)
∵x∈[1,+∞] ∴1/(4x^2)<1 ∴f'(x)=1-1/(4x^2)>0恒成立
∴f(x)在x∈[1,+∞] 上为增函数 , ∴x=1时 f(x)取得最小值为:
f(x)min=7/2
(2)∵f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x+2
对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立 即 x+a/x+2>0
∵x∈[1,+∞] ∴对不等式 x+a/x+2>0进行移项变形得:
a>-x^2-2x
令 : g(x)=-x^2-2x , x∈[1,+∞]
∴g(x)=-x^2-2x =-(x+1)^2+1
∴g(x)在 x∈[1,+∞] 上为减函数 ∴g(x)最大值为:
g(x)max=g(1)=-3
∴a>(-x^2-2x)max=g(x)max=-3
∴a的取值范围为: a>-3
若有不懂可再问我.
1)f(x)=x^2+2x+a/x=x+a/x+2当a=1/2时为双钩函数f(x)=x+1/(2x)+2>=3当x=squr(1/2)则
[1,+∞]f(x)∈[7/2,+∞)
2)a>0时用双钩函数易得成立 a=0时也成立
a<0f(x)=x^2+2x+a/x=x+a/x+2的导数为F=1-ax^(-2)>0即为增函数,在x∈[1,+∞],上f(1)=1+a+2>0即a>-3,
所以a∈[-3,+∞]