已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号(6)/3,长轴长2根号(3),直线l:y=kx+m,交椭圆与A,B(1)求m=1,向量OA*向量OB=0时,k的值(O为原点)(2)若坐标原点O到直线l的距离为根号(3)/2,球、
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 22:13:19
![已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号(6)/3,长轴长2根号(3),直线l:y=kx+m,交椭圆与A,B(1)求m=1,向量OA*向量OB=0时,k的值(O为原点)(2)若坐标原点O到直线l的距离为根号(3)/2,球、](/uploads/image/z/3704745-57-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E7%9A%84%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%E4%B8%BA%E6%A0%B9%E5%8F%B7%EF%BC%886%EF%BC%89%2F3%2C%E9%95%BF%E8%BD%B4%E9%95%BF2%E6%A0%B9%E5%8F%B7%EF%BC%883%EF%BC%89%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%EF%BC%9Ay%3Dkx%2Bm%2C%E4%BA%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%B8%8EA%2CB%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82m%3D1%2C%E5%90%91%E9%87%8FOA%2A%E5%90%91%E9%87%8FOB%3D0%E6%97%B6%2Ck%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%88O%E4%B8%BA%E5%8E%9F%E7%82%B9%EF%BC%89%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9O%E5%88%B0%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E7%9A%84%E8%B7%9D%E7%A6%BB%E4%B8%BA%E6%A0%B9%E5%8F%B7%EF%BC%883%EF%BC%89%2F2%2C%E7%90%83%E3%80%81)
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号(6)/3,长轴长2根号(3),直线l:y=kx+m,交椭圆与A,B(1)求m=1,向量OA*向量OB=0时,k的值(O为原点)(2)若坐标原点O到直线l的距离为根号(3)/2,球、
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号(6)/3,长轴长2根号(3),直线l:y=kx+m,交椭圆与A,B
(1)求m=1,向量OA*向量OB=0时,k的值(O为原点)
(2)若坐标原点O到直线l的距离为根号(3)/2,球、求三角形AOB面积的最大值
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号(6)/3,长轴长2根号(3),直线l:y=kx+m,交椭圆与A,B(1)求m=1,向量OA*向量OB=0时,k的值(O为原点)(2)若坐标原点O到直线l的距离为根号(3)/2,球、
c/a=√6/3
c²/a²=2/3
2a=2√3
a=√3
a²=3
c²=2
b²=a²-c²=3-2=1
椭圆方程:x²/3+y²=1
(1)直线y=kx+1
设点A(x1,y1)B(x2,y2)
因为向量OA*向量OB=0
所以OA垂直OB
y1y2+x1x2=0
(kx1+1)(kx2+1)+x1x2=0
k²x1x2+k(x1+x2)+1+x1x2=0
将y=kx+1代入x²/3+y²=1
x²+3(k²x²+2kx+1)=3
(1+3k²)x²+6kx=0
x1+x2=-6k²/(1+3k²)
x1*x2=0
-6k²/(1+3k²)+1=0
1+3k²=6k²
3k²=1
k=±√3/3
(2)直线y=kx+m原点到直线的距离=√3/2
那么
|m|/√(1+k²)=√3/2
4m²=3+3k²
将y=kx+m代入x²/3+y²=1
x²+3(k²x²+2mkx+m²)=3
(1+3k²)x²+6mkx+3m²-3=0
x1+x2=-6mk/(1+3k²)
x1*x2=(3m²-3)/(1+3k²)
AB=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1*x2]
因为原点到直线距离为定值,所以当AB取最大值时,S就有最大值
令t=(1+k²)[36m²k²/(1+3k²)²+4(3-3m²)/(1+3k²)]
4m²=3+3k²代入
t=(1+k²)[9k²(3+3k²)/(1+3k²)²+(12-9-9k²)/(1+3k²)]
=(1+k²)(27k²+27k^4+3-9k²+9k²-27k^4)/(1+3k²)
=(1+k²)(27k²+3)/(1+3k²)²
=3(9k²+1)(k²+1)/(1+3k²)²
=3(9k^4+6k²+1+4k²)/(1+3k²)²
=3+12k²/(1+3k²)²
=3+12[k/(1+3k²)]²
=3+12[1/(1/k+3k)]²
1/k+3k≥2√3
所以t的最大值=4
AB最大值=2
S△AOB最大值=1/2×√3/2×2=√3/2