一道积分极限证明题[1/(根号n) ]*{1/(根号1+n)+1/(根号2+n)+.+1/(根号n+n)}趋近于 2[(根号2)-1]打的我快累死了

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/11 21:17:51
一道积分极限证明题[1/(根号n) ]*{1/(根号1+n)+1/(根号2+n)+.+1/(根号n+n)}趋近于 2[(根号2)-1]打的我快累死了
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一道积分极限证明题[1/(根号n) ]*{1/(根号1+n)+1/(根号2+n)+.+1/(根号n+n)}趋近于 2[(根号2)-1]打的我快累死了
一道积分极限证明题
[1/(根号n) ]*{1/(根号1+n)+1/(根号2+n)+.+1/(根号n+n)}趋近于 2[(根号2)-1]
打的我快累死了

一道积分极限证明题[1/(根号n) ]*{1/(根号1+n)+1/(根号2+n)+.+1/(根号n+n)}趋近于 2[(根号2)-1]打的我快累死了
将1√n乘入,原式左边=1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)
我们的目标是求极限：lim{n->∞}{1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)}=lim{n->∞}{(1/n)[1/√(1+1/n)+1/√(1+2/n)+...+1/√(1+n/n)}
对照定积分的定义,令Δxi=1/n,xi=i/n,f(x)=1/√x,积分区间为[1,2]
所以lim{n->∞}{(1/n)[1/√(1+1/n)+1/√(1+2/n)+...+1/√(1+n/n)}=∫{1,2}{(1/√x)dx}=2√x|{1,2}=2√2-2
所以lim{n->∞}{1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)}=2(√2-1)
证毕. 
如果上面过程看得太累,可以看看下图：

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