已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m属于R)1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 10:09:37
![已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m属于R)1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程](/uploads/image/z/3772709-53-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%86C%3A%28x-1%29%5E2%2B%28y-2%29%5E2%3D25%E5%8F%8A%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%3A%282m%2B1%29x%2B%28m%2B1%29y%3D7m%2B4%28m%E5%B1%9E%E4%BA%8ER%291%29%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E8%AE%BAm%E5%8F%96%E4%BB%80%E4%B9%88%E5%AE%9E%E6%95%B0%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8E%E5%9C%86C%E6%81%92%E7%9B%B8%E4%BA%A42%29%E6%B1%82%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E8%A2%AB%E5%9C%86C%E6%88%AA%E5%BE%97%E7%9A%84%E5%BC%A6%E9%95%BF%E7%9A%84%E6%9C%80%E7%9F%AD%E9%95%BF%E5%BA%A6%E5%8F%8A%E6%AD%A4%E6%97%B6%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8B)
已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m属于R)1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程
已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m属于R)
1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交
2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程
已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m属于R)1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程
1.
l方程可以写为:
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0
l必然过2x+y-7=0和x+y-4=0的交点,即P(3,1)这个点
而(3,1)是在圆内的
所以l必然与圆相交,得证
2.当圆心(1,2)与(3,1)的连线与l垂直时,弦长有最短Lmin=2√(R^2-|OP|^2)=2√(25-5)=4√5
OP斜率(1-2)/(3-1)=-1/2
此时l的斜率=2,l方程y-1=2(x-3),即y=2x-5
直线过定点(3 1) m(2x+y-7)+(x+y_4)+0 分别让2x+y-7和x+y_4等于零 就可以得到定点了 然后带入圆的方程可得到 4+1<25 点在园内 第一个问题的证
后面的点到直线的距离求出来世r 半径是R 国点(3 1) 圆心(1,2)与(3,1)的连线与l垂直弦长有最短4√5斜率1/2此时l的斜率=2,l方程y=2x-5...
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直线过定点(3 1) m(2x+y-7)+(x+y_4)+0 分别让2x+y-7和x+y_4等于零 就可以得到定点了 然后带入圆的方程可得到 4+1<25 点在园内 第一个问题的证
后面的点到直线的距离求出来世r 半径是R 国点(3 1) 圆心(1,2)与(3,1)的连线与l垂直弦长有最短4√5斜率1/2此时l的斜率=2,l方程y=2x-5
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答案:弦长=4根5。方程y=2x-5 详细解答如下图:
观察,直线恒过点(3,1)就是说把x=3,y=1代入直线得到一个恒等式,无论m取什么值。
然后将3,1代入圆得到,(3-1)^2+(1-2)^2-25<0,也就是说点(3,1)在圆内。一条直线恒过圆内一点自然与圆相交。
因为直线恒过点(3,1)且在圆内,那么连接圆心与该点,当连线与直线垂直时所得弦长最短。圆心为(1,2)所以,连线斜率为-1/2,那么也就是说直线斜率为2的时候即-(...
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观察,直线恒过点(3,1)就是说把x=3,y=1代入直线得到一个恒等式,无论m取什么值。
然后将3,1代入圆得到,(3-1)^2+(1-2)^2-25<0,也就是说点(3,1)在圆内。一条直线恒过圆内一点自然与圆相交。
因为直线恒过点(3,1)且在圆内,那么连接圆心与该点,当连线与直线垂直时所得弦长最短。圆心为(1,2)所以,连线斜率为-1/2,那么也就是说直线斜率为2的时候即-(2m+1)/(m+1)=2的时候满足条件。得出m=-3/4,代入便得直线方程为
-2x+y+5=0
因为连线是垂直平分该弦的,于是根据勾股定理得到r^2-d^2=(l/2)^2也就是说半径为斜边,d为圆心到弦的距离,l是弦长,因为d^2=(1-3)^2+(2-1)^2=5
r^2=25所以l=4sqrt(5)即4倍根号5
个人认为楼上解法过于繁琐,这类题灵活运用直线知识尤其是简单几何知识是非常好解的,整个题口算都行,如果要解方程可就很麻烦了。
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