在三角形ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列.若b=3,求三角形ABC面积的最大值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/03 21:35:56
![在三角形ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列.若b=3,求三角形ABC面积的最大值.](/uploads/image/z/3855601-1-1.jpg?t=%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2CA%2CB%2CC%E7%9A%84%E5%AF%B9%E8%BE%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFa%2Cb%2Cc%2C%E4%B8%94acosC%2CbcosB%2CccosA%E6%88%90%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97.%E8%8B%A5b%3D3%2C%E6%B1%82%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC.)
在三角形ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列.若b=3,求三角形ABC面积的最大值.
在三角形ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列.
若b=3,求三角形ABC面积的最大值.
在三角形ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列.若b=3,求三角形ABC面积的最大值.
acosC,bcosB,ccosA成等差数列 得到 2bcosB=acosC+ccosA;
现在来化解2bcosB=acosC+ccosA;
2bcosB=acosC+ccosA
2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA
2sinBcosB=sin(A+C)
2sinBcosB=sinB
因为sinB不等于0;(因为如果sinB=0,B=0°或是180°,不成立)
cosB=1/2
那么根据(sinB)^2+(cosB)^2=1;得到sinB=根号3/2
S面积=1/2*ac*sinB
现在只需要算出ac的最大值就可以了
根据余弦定理:a^2+c^2-b^2=2ac*cosB
带入cosB,b=3这些已知条件,得到
a^2+c^2=9+ac;
化成:(a+c)^2=9+3ac;(1)
再根据基本不等式ac<=(a+c)^2/4;
将(1)代入
ac<=(9+3ac)/4
化简 得到
ac<=9;
也就是ac的最大值就是9;
那么 S面积=1/2*ac*sinB,面积的最大值就是当ac=9的时候取的.Smax=1/2*9*(根号3/2).
剩下的都知道啦.