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来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 16:22:26
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假设在任意凸多面体中放置一个点光源,以这个点光源为中心作一个单位球,凸多面体的顶点、棱、面都会在球上形成投影.那么只要证明在球面上形成的点、线、面满足欧拉公式即可.
然后将球面上的所有面剖分成三角形,剖分一个面时,任意两条剖分线不要在这个面的内部形成交叉,这样剖分为三角形后,球面投影的面数和线数会增加,由于每1条线将1个面分成2个面,因而增加1条线也就增加了1个面,线和面增加的数目相同.
假设原来的顶点、棱、面的个数分别为V、E、F,那么进行三角剖分后,V不变,E和F增加的数目相同,因而F-E+V的值保持不变.下面只证全部为球面三角形时F-E+V=2.
所有面全部为三角形时,由于每个面有3条边,而每条边又为2个面所共有,因而2E=3F,则F-E=-F/2,下面再证明V-F/2=2即可.
每一个顶点的一个周角2∏被若干个球面三角形的角围成,因而所有三角形的内角总和为2∏V,一个球面三角形的面积为A+B+C-∏,则所有三角形的面积为：所有三角形内角总和-∏F,而所有三角形面积之和为球面面积4∏,即得2∏V-∏F=4∏,等式两边除以2∏得：V-F/2=2,问题得证.

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