一道数学题,第二小题求详解24．（本题满分12分,每小题各4分）已知：在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,△ABC的面积为12．（1）求这个

一道数学题,第二小题求详解24．（本题满分12分,每小题各4分）已知：在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,△ABC的面积为12．（1）求这个
一道数学题,第二小题求详解
24．（本题满分12分,每小题各4分）
已知：在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,△ABC的面积为12．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为,点P在二次函数的图像上,∠ADP为锐角,且,请直接写出点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上,点O与点关于EC所在直线对称,过点O作的垂线,垂足为点N,ON与EC交于点M．若,求点E的坐标．

一道数学题,第二小题求详解24．（本题满分12分,每小题各4分）已知：在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,△ABC的面积为12．（1）求这个
（2014•上海模拟）已知：在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+2mx-4（m≠0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,△ABC的面积为12．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为（-2,1）,点P在二次函数的图象上,∠ADP为锐角,且tan∠ADP=2,请直接写出点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上,∠OCE＞45°,点O与点O′关于EC所在直线对称,过点O作O′E的垂线,垂足为点N,ON与EC交于点M．若EM•EC=48,求点E的坐标．
（1）由题意可得：该二次函数图象的对称轴为直线x=-1；
∵当x=0时,y=-4,
∴点C的坐标为（0,-4）,
∵S△ABC=
1
2
AB•|yC|=12,
∴AB=6．
又∵点A,B关于直线x=-1对称,
∴A点和B点的坐标分别为（-4,0）,（2,0）．
∴4m+4m-4=0,解得m=
1
2
．
∴所求二次函数的解析式为y=
1
2
x2+x-4．
（2）如图,作DF⊥x轴于点F．分两种情况：
（ⅰ）当点P在直线AD的下方时,如图所示．
由（1）得点A（-4,0）,点D（-2,1）,
∴DF=1,AF=2．
在Rt△ADF中,∠AFD=90°,得tan∠ADF=
AF
DF
=2．
延长DF与抛物线交于点P1,则P1点为所求．
∴点P1的坐标为（-2,-4）．
（ⅱ）当点P在直线AD的上方时,延长P1A至点G使得AG=AP1,连接DG,作GH⊥x轴于点H,如图所示．
可证△GHA≌△P1FA．
∴HA=AF,GH=P1F,GA=P1A．
又∵A（-4,0）,P1（-2,-4）,
∴点G的坐标是（-6,4）．
在△ADP1中,
DA=
5
,DP1=5,
AP1=2
5
,
∴DA2+AP12=DP12
∴∠DAP1=90°．
∴DA⊥GP1．
∴DG=DP1．
∴∠ADG=∠ADP1．
∴tan∠ADG=tan∠ADP1=2．
设DG与抛物线的交点为P2,则P2点为所求．
作DK⊥GH于点K,作P2S∥GK交DK于点S．
设P2点的坐标为（x,
1
2
x2+x-4）,
则P2S=
1
2
x2+x-4-1=
1
2
x2+x-5,DS=-2-x．
由
P2S
GK
=
DS
DK
,GK=3,DK=4,得
1
2
x2+x−5
3
=
−2−x
4
．
整理,得2x2+7x-14=0．
解得x=
−7±
161

4
．
∵P2点在第二象限,
∴P2点的横坐标为x=
−7−
161

4
（舍正）．
综上,P点的横坐标为-2或
−7−
161

4
．
（3）如图,连接OO′,交CE于T．连接CO′．
∵点O与点CO′关于EC所在直线对称,
∴OO′⊥CE,∠OCE=∠O′CE,∠CO′E=∠COE=90°,
O′C⊥O′E．
∵ON⊥O′E,
∴O′C∥ON．
∴∠OMC=∠O′CE=∠OCE．
∴OC=OM．
∴CT=MT．
∵在Rt△ETO中,∠ETO=90°,cos∠OEC=
ET
OE
,
在Rt△COE中,∠COE=90°,cos∠OEC=
OE
EC
,
∴
OE
EC
=
ET
OE
．
∴OE2=ET•EC
=（EM+TM）•EC
=EM•EC+TM•EC
=48+TM•EC．
同理OC2=CT•EC=TM•EC=16．
∴OE2=48+16=64．
∵OE＞0,
∴OE=8．
∵点E在x轴的正半轴上,
∴E点的坐标为（8,0）．

，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：
（ⅰ）当点P在直线AD的下方时，如图所示．
由（1）得点A（-4，0），点D（-2，1），
∴DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，得tan∠ADF=

=2．
延长DF与抛物线交于点P₁，则P₁点...

全部展开

，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：
（ⅰ）当点P在直线AD的下方时，如图所示．
由（1）得点A（-4，0），点D（-2，1），
∴DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，得tan∠ADF=

=2．
延长DF与抛物线交于点P₁，则P₁点为所求．
∴点P₁的坐标为（-2，-4）．
（ⅱ）当点P在直线AD的上方时，延长P₁A至点G使得AG=AP₁，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示．
可证△GHA≌△P₁FA．
∴HA=AF，GH=P₁F，GA=P₁A．
又∵A（-4，0），P₁（-2，-4），
∴点G的坐标是（-6，4）．
在△ADP₁中，
DA=

，DP₁=5，
AP₁=2

，
∴DA²+AP₁²=DP₁²
∴∠DAP₁=90°．
∴DA⊥GP₁．
∴DG=DP₁．
∴∠ADG=∠ADP₁．
∴tan∠ADG=tan∠ADP₁=2．
设DG与抛物线的交点为P₂，则P₂点为所求．
作DK⊥GH于点K，作P₂S∥GK交DK于点S．
设P₂点的坐标为（x，

x²+x-4），
则P₂S=

x²+x-4-1=

x²+x-5，DS=-2-x．
由

=

，GK=3，DK=4，得

=

．
整理，得2x²+7x-14=0．
解得x=

．
∵P₂点在第二象限，
∴P₂点的横坐标为x=

（舍正）．
综上，P点的横坐标为-2或

收起

答：

请参考：

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/6271e5e1-2f7b-444e-b8a0-17c0725cb582