如图,△ABC的两条角平分线BD、CE相交于点O,∠A=60°,求证:CD+BE=BC(最好有因为所以过程!)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/25 19:07:56
![如图,△ABC的两条角平分线BD、CE相交于点O,∠A=60°,求证:CD+BE=BC(最好有因为所以过程!)](/uploads/image/z/3940019-35-9.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E4%B8%A4%E6%9D%A1%E8%A7%92%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BFBD%E3%80%81CE%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9O%2C%E2%88%A0A%3D60%C2%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ACD%2BBE%3DBC%EF%BC%88%E6%9C%80%E5%A5%BD%E6%9C%89%E5%9B%A0%E4%B8%BA%E6%89%80%E4%BB%A5%E8%BF%87%E7%A8%8B%21%EF%BC%89)
如图,△ABC的两条角平分线BD、CE相交于点O,∠A=60°,求证:CD+BE=BC(最好有因为所以过程!)
如图,△ABC的两条角平分线BD、CE相交于点O,∠A=60°,求证:CD+BE=BC
(最好有因为所以过程!)
如图,△ABC的两条角平分线BD、CE相交于点O,∠A=60°,求证:CD+BE=BC(最好有因为所以过程!)
证明:连接OA,由O点向AB、AC、BC作垂线,垂足分别为N、M、K
∵O点是∠B和∠C角平分线的交点
∴O是△ABC的内心
∴OA也是∠A的角平分线
由角分线定理可知
OM=ON
在四边形ANOM中
∵∠A=60°∠ANO=∠ADO=90°
∴∠MON=120°
∵∠A=60°
∴∠B+∠C=120°
∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠B+∠C)=60°
∴∠BOC=∠ADE=120°
∵∠EON=∠ADE-∠ADN=120°-∠ADN
∵∠DOM=∠MON-∠ADN=120°-∠ADN
∴∠EON=∠DOM
在Rt△EON和Rt△DOM中
∠EON=∠DOM(已证)
OM=ON
∴ Rt△EON≌Rt△DOM
∴EN=DM (这个结论非常重要)
∵Rt△BON≌Rt△BOK Rt△COK≌Rt△COM
∴BK=BN CK=CM
∵BE=BN-EN CD=CM+DM
∴BE+CD=BN-EN+CM+DM
∵EN=DM(已证)
∴BE+CD=BN+CM=BK+CK=BC
结论成立
因为两条平行线bd,ce
所以bo+od=oc+oe
又因为角a=60
所以∠b+∠c=180-60=120
所以∠b=∠c=60
又因为be=dc
suoyi
在BC边上取点F,使BF=BE,连结OF。
∵BD平分∠ABC,BF=BE,BO是公共边,
∴△BEO≌△BFO →∠EOB=∠FOB=∠COD
∵∠A=60°
∠EOB=∠CBO+∠BCO, BD、CE是
∵∠EOB=1/2(180°-60°)=60°
则∠COF=180°-∠FOB-∠COD=60°
又∵CE是
全部展开
在BC边上取点F,使BF=BE,连结OF。
∵BD平分∠ABC,BF=BE,BO是公共边,
∴△BEO≌△BFO →∠EOB=∠FOB=∠COD
∵∠A=60°
∠EOB=∠CBO+∠BCO, BD、CE是
∵∠EOB=1/2(180°-60°)=60°
则∠COF=180°-∠FOB-∠COD=60°
又∵CE是
,CO是公共边,
∠COF=∠COD=60°(已证)
∴△COF≌△COD →CF=CD
∴BC=BF+CF=BE+CD
收起