一道高二数学有关椭圆的题,A、B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的上顶点和右顶点,其中a,b为两正数,若P为第一象限椭圆弧上一点,则△ABP的最大面积是多少?

一道高二数学有关椭圆的题,A、B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的上顶点和右顶点,其中a,b为两正数,若P为第一象限椭圆弧上一点,则△ABP的最大面积是多少?
一道高二数学有关椭圆的题,
A、B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的上顶点和右顶点,其中a,b为两正数,若P为第一象限椭圆弧上一点,则△ABP的最大面积是多少?

一道高二数学有关椭圆的题,A、B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的上顶点和右顶点,其中a,b为两正数,若P为第一象限椭圆弧上一点,则△ABP的最大面积是多少?
A(0,b),B(a,0)
Kab=-b/a
设与AB平行且与椭圆相切的直线方程为：y=-bx/a+p
则：
x^2/a^2+(-bx/a+p)^2/b^2=1
x^2/a^2+(-x/a+p/b)^2=1
2b^2x^2-2abpx+a^2p^2-a^2b^2=0
判别式△=4a^2b^2p^2-8b^2(a^2p^2-a^2b^2)=-4a^2b^2(p^2-2b^2)=0
p=±√2b
所以,在第一象限相切的直线方程为：y=-bx/a+√2b
与AB的距离d=|b-√2b|/√(1+b^2/a^2)=ab(√2-1)/√(a^2+b^2)
△ABP的最大面积
=1/2*AB*d
=1/2*√(a^2+b^2)*ab(√2-1)/√(a^2+b^2)
=ab(√2-1)/2

A(0,b),B(a,0)
∴直线AB方程为：y=(-b/a)x+b
设直线L与直线AB平行，设方程为：y=(-b/a)x+m
要使△ABP的面积最大，则点P是直线L与椭圆相切时的交点
将直线方程代入y=(-b/a)x+m椭圆方程，得：
2(b^2)*(x^2)-2abmx+a^2*(m^2-b^2)=0
由Δ=0可得：m^2=2b^2
∵P...

全部展开

A(0,b),B(a,0)
∴直线AB方程为：y=(-b/a)x+b
设直线L与直线AB平行，设方程为：y=(-b/a)x+m
要使△ABP的面积最大，则点P是直线L与椭圆相切时的交点
将直线方程代入y=(-b/a)x+m椭圆方程，得：
2(b^2)*(x^2)-2abmx+a^2*(m^2-b^2)=0
由Δ=0可得：m^2=2b^2
∵P在第一象限
∴m=√2b,则直线L为：y=(-b/a)x+√2b
直线L与直线AB间的距离为:
d=(√2-1)ab/√(a^2+b^2)
|AB|=√(a^2+b^2) [根号(a的平方+b的平方)]
∴SΔ=1/2×|AB|×d=(√2-1)ab /2

收起

设x^2/a^2+y^2/b^2=1的参数方程为:
x=acosB y=bsinB (oA(0,b),B(a,0) A,B直线方程为y=(-b/a)x+b
p(acosB,bsinB) |AB|=√(a^2+b^2)
p到AB的距离为
d=|bcosB+bsinB+b|/√(1+b^2/a^2)
=a|b√2sin...

全部展开

设x^2/a^2+y^2/b^2=1的参数方程为:
x=acosB y=bsinB (oA(0,b),B(a,0) A,B直线方程为y=(-b/a)x+b
p(acosB,bsinB) |AB|=√(a^2+b^2)
p到AB的距离为
d=|bcosB+bsinB+b|/√(1+b^2/a^2)
=a|b√2sin(B+π/4)+b|/(√a^2+b^2)
当sin(B+π/4)=1时 d(max)=(√2+1)ab/√(a^2+b^2)
S(max)=d|AB|/2=(√2-1)ab /2

收起

易知，A(a,0),B(0,b),可设P(acost,bsint),(0＜t＜π/2).由三角形面积的行列式求法得面极S=ab(sint+cost-1)=ab[(√2)sin(t+π/4)-1]/2.显然，当t=π/44时，Smax=ab[(√2)-1]/2

以上都不错，相信楼主一定不好选吧。我个人比较趋向于用参数法和面积行列式法。但是高二好像没有这些知识吧。

此题还有另一种理解方式。
AB是固定的，只有P是不定的所以要求面积的最大值就是要求P到AB的最大值。
从图像可知P点越靠近AB两点则P点到直线AB的距离就越短，离两点越远则值越大，那么当且仅当P点为弧AB的中点时P到AB取得最大值（这一点椭圆跟圆一样）则连接...

全部展开

以上都不错，相信楼主一定不好选吧。我个人比较趋向于用参数法和面积行列式法。但是高二好像没有这些知识吧。

此题还有另一种理解方式。
AB是固定的，只有P是不定的所以要求面积的最大值就是要求P到AB的最大值。
从图像可知P点越靠近AB两点则P点到直线AB的距离就越短，离两点越远则值越大，那么当且仅当P点为弧AB的中点时P到AB取得最大值（这一点椭圆跟圆一样）则连接OP则易得∠POB=45°那么直线OP的方程为y=x设P(x,x)代入椭圆方程得(x^2/a^2)+(x^2/b^2)=1求的P[ab/√(a^2+b^2),ab/√(a^2+b^2)]根据点导致线的距离公式得d=ab(√2-1)/√(a^2+b^2)则△ABP的最大面积=（1/2）*[√（a^2+b^2)]*[ab(√2-1)/√(a^2+b^2)]=ab(√2-1)/2

收起

答：
① 求面积表达式：
连接OP（O是坐标原点），不难看出：
S△ABP = S△AOP + S△BOP - S△AOB
S△ABP = 1/2ay + 1/2bx - 1/2ab
② 求△ABP面积最大值：
证明一个不等式：(m、n为零，正数。)
(m + n)/2 ≤√[(m² + n²)/2]
/*****...

全部展开

答：
① 求面积表达式：
连接OP（O是坐标原点），不难看出：
S△ABP = S△AOP + S△BOP - S△AOB
S△ABP = 1/2ay + 1/2bx - 1/2ab
② 求△ABP面积最大值：
证明一个不等式：(m、n为零，正数。)
(m + n)/2 ≤√[(m² + n²)/2]
/*************************************
(m - n)² ≥ 0
m² + n² ≥ 2mn
2m² + 2n² ≥ m² + n² + 2mn
2m² + 2n² ≥ (m + n)²
(m² + n²)/2 ≥ (m + n)²/4
√[(m² + n²)/2] ≥ (m + n)/2
(m + n)/2 ≤√[(m² + n²)/2]
这就是著名的“算术平均小于几何平均”
*************************************/
令m=bx，n=ay，则：
(bx + ay)/2 ≤ √[(b²x² + a²y²)/2]
bx + ay ≤ 2 √（a²b²/2）
bx + ay ≤ √2 ab
S△ABP=1/2ay + 1/2bx - 1/2ab≤1/2(√2 ab - ab)
S最大值=(√2 -1)/2 ab
--完--

收起