x→∞,求极限[∫arctan(t)dt]/sin(x),其中,分子上面的积分限为[0,x]
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/15 09:57:50
![x→∞,求极限[∫arctan(t)dt]/sin(x),其中,分子上面的积分限为[0,x]](/uploads/image/z/4000856-32-6.jpg?t=x%E2%86%92%E2%88%9E%2C%E6%B1%82%E6%9E%81%E9%99%90%5B%E2%88%ABarctan%28t%29dt%5D%2Fsin%28x%29%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD%2C%E5%88%86%E5%AD%90%E4%B8%8A%E9%9D%A2%E7%9A%84%E7%A7%AF%E5%88%86%E9%99%90%E4%B8%BA%5B0%2Cx%5D)
x→∞,求极限[∫arctan(t)dt]/sin(x),其中,分子上面的积分限为[0,x]
x→∞,求极限[∫arctan(t)dt]/sin(x),其中,分子上面的积分限为[0,x]
x→∞,求极限[∫arctan(t)dt]/sin(x),其中,分子上面的积分限为[0,x]
∫arctan(t)dt=tarctant-∫td(arctant)=tarctant-∫t/(1+t^2)dt
=tarctant-∫t/(1+t^2)dt=tarctant-(1/2)×∫d(1+t^2)/(1+t^2)=tarctant-(1/2)ln(1+t^2)
(0,x)∫arctan(t)dt=(0,x)[tarctant-(1/2)ln(1+t^2)]=xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)
故极限为lim [xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)]/sinx
又lim [xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)]=xarctanx[1-(1/2)ln(1+x^2)/(xarctanx)]
又lim ln(1+x^2)/(xarctanx)]=lim[2x/(1+x^2)]/[arctanx+x/(1+x^2)]
=lim 2x/[(x^2+1)arctanx+x]=lim 2/(2xarctanx+2)=0
所以lim [xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)]/sinx
=lim xarctanx/sinx
x→+∞,原式=lim x(π/2)/sinx,sinx不定,故极限不存在
因而极限不存在,你检查一下是不是题抄错了.
应该是x→0吧?否则不可能有极限的.
附上x→0
洛必达法则
lim (∫arctantdt]/sinx)=lim arctanx/cosx=0