作业帮大学高等数学,积分学在八分之一球面x^2+y^2+z^2=5r^2(x>=0,y>=0,z>=0)上求一点使得函数f(x,y,z)=xyz^3达到最大,并写出最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/31 08:43:35
大学高等数学,积分学在八分之一球面x^2+y^2+z^2=5r^2(x>=0,y>=0,z>=0)上求一点使得函数f(x,y,z)=xyz^3达到最大,并写出最大值
大学高等数学,积分学
在八分之一球面x^2+y^2+z^2=5r^2(x>=0,y>=0,z>=0)上求一点使得函数f(x,y,z)=xyz^3达到最大,并写出最大值
大学高等数学,积分学在八分之一球面x^2+y^2+z^2=5r^2(x>=0,y>=0,z>=0)上求一点使得函数f(x,y,z)=xyz^3达到最大,并写出最大值
可以用球面坐标变换去做：
下面过程中a=（根号5）*r
设x=a cosp,y=a sinp cosq,z=a sinp sinq,p,q的范围是[0,Pi/2]
则f=a^3 cosp (sinp)^4 cosq (sinq)^3
在设t=cosp,s=cosq,其中s,t的范围是[0,1]
则f=f(t,s)=a^3 t(1-t^2)^2 s(1-s^2)^(3/2),看成s,t的二元函数,定义域在闭的单位正方形[0,1]*[0,1]里面.
下面只需在闭正方形里面求f的最大值就可了：
注意到,在正方形边界上,f恒等于0,故只需在开正方形（0,1）*（0,1）中求极大值即可.
下面在开正方形（0,1）*（0,1）中考虑：
f关于t的偏导数f_t=a^3 (1-t^2)(1-3t^2) s(1-s^2)^(3/2)=0,得到t=1/(根号3)；
f关于t的偏导数f_s=a^3 t(1-t^2)^2 (1-s^2)^(1/2) (1-4s^2)=0,得到s=1/2.
故可得到在t=1/(根号3),s=1/2,即在球面上点（sqrt(5/3)r,sqrt(5/6)r,sqrt(5/2)r）处,f达到最大值（5/12）sqrt(5)r^3.