急求曲线y=sinx,直线y=2x以及x=∏/2围成的平面区域D的面积,及区域D绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/21 00:05:42
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急求曲线y=sinx,直线y=2x以及x=∏/2围成的平面区域D的面积,及区域D绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积
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求曲线y=sinx,直线y=2x以及x=∏/2围成的平面区域D的面积,及区域D绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积
急求曲线y=sinx,直线y=2x以及x=∏/2围成的平面区域D的面积,及区域D绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积
由题意可得,曲线y=sinx求导的f'=-cosx;则f'的值域为[-1,1].直线y=2x求导的f'=2.所以曲线y=sinx和直线y=2x只有一个交点为(0,0).而直线x=π/2与其他两个交点分别是(π/2,1),(π/2,π).
所以三条线围成的面积,x的定义域为[0,π/2].
“区域D绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积”可以转化为“直线y=2x(x取[0,π/2].)绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积”与“曲线y=sinx(x取[0,π/2].)绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积”之差.
“直线y=2x(x取[0,π/2].)绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积”:
V1=S[π*(2x)^2]dx (S表示积分符号,积分区间是[0,π/2])
“曲线y=sinx(x取[0,π/2].)绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积”:
V2=S[π*(sinx)^2]dx(S表示积分符号,积分区间是[0,π/2])
“区域D绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积”:
V=V1-V2=π^3/6-π^2/4
在x∈(0,π/2)的范围内,y=2x在上,y=sinx在下
所以高是y=2x,底是y=sinx
D=1/2(2xsinx),积分是(0,π/2)对x积分
绕x旋转一周,微分是底面积是从(1,π)的圆环
按照圆锥体积公式计算,高是π/2,底面积从(1,π)的圆环积分