若一个函数满足f(x)f(y)=f(x+y),则它一定是指数函数嘛?除了常值函数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/30 06:58:57
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若一个函数满足f(x)f(y)=f(x+y),则它一定是指数函数嘛?除了常值函数
若一个函数满足f(x)f(y)=f(x+y),则它一定是指数函数嘛?
除了常值函数
若一个函数满足f(x)f(y)=f(x+y),则它一定是指数函数嘛?除了常值函数
可以证明(柯西法)
(1)先证明x为整数的情况,设x=n(正整数),则f(n)=f^n(1)
令f(1)=a,则f(n)=a^n
令x=0,则f(0)=f(0)^2,故f(0)=0或1
显然f(0)不为0,否则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0为常数函数
又f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)=1,f(-n)=1/f(n)=a^(-n)
(2)证明有理数情形
设x=m/n(m,n为整数,n非0),则f(m)=f(m/n*n)=f(m/n)^n=a^m
f(m/n)=a^(m/n)
(3)证明实数情形
当y趋于0时,limf(x+y)=limf(x)f(y)=f(x)*limf(y)=f(x)*f(0)=f(x)*1=f(x)
注意f(x)在点x=0处连续lim(x趋于0)f(x)=a^0=1
所以f(x)为R上的连续函数,因此有f(x)=a^x(x属于任何实数)
注:从群论看,f(x)f(y)=f(x+y)说明y=f(x)与普通加法群同态,做映射f(x)=a^x,则指数函数恰好跟加法群同态.
不一定,可以是常函数
不一定,常函数y=1也是满足的
对数函数
若一个函数满足f(x+y)=f(x)+f(y)写出满足函数关系的一个解析式答案是f(x)=kx 为什么
若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)证明f(-x)f(x)
高一数学问题解答!【要过程】若函数f(x)分别满足下列条件的其中一个①f(x)*f(y)=f(x+y)②f(x)+f(y)=f(x+y)③f(x)+f(y)=f(x*y)请举出一个满足这样条件的函数(2)如果函数满足条件①且f(1)=2,求f(2)/f(1)+f(
对于任意整数x,y函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1.若f(1)=1.那么f(-8)等于?
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若函数y=f(x),满足f(x+1)=2f(x),求f(x)
若定义域为R函数f(x)满足f(x+y)=2*f(x)*f(y),且f(0)不等于0,证明f(x)是偶函数
对所有实数x 、y ,若函数y=f(x),满足f(xy)=f(x)f(y),且f(0)不等于0,求f(2009)=( )
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若函数y=f(x)满足f(x)=f(1/x)lgx+1,求f(10)的值
已知函数f(x)对于任意实数xy 满足f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x-y)=f(x)-f(y)
若函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+y)=f(x)-f(y),试判断函数f(x)的奇偶性.
若函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+y)=f(x)-f(y),试判断函数f(x)的奇偶性
若一次函数f(x)满足f[f(x)]=1+4x,求f(x)
若一次函数f(x) 满足f[f(x)]=1+2x 求f(x)
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f(y),且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数
f(x)满足f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)求函数的奇偶性
函数f(x) 满足关系f(xy)=f(x)+f(y),x,y属于R,求f(1);