一道抽象函数题目f(x)是R上的函数,对任意的实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3.(1)判断函数的奇偶性,并证明.(2)求函数在区间[-1,3]的值域.f(3)不是应
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 03:05:03
![一道抽象函数题目f(x)是R上的函数,对任意的实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3.(1)判断函数的奇偶性,并证明.(2)求函数在区间[-1,3]的值域.f(3)不是应](/uploads/image/z/4336715-11-5.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E9%A2%98%E7%9B%AEf%EF%BC%88x%EF%BC%89%E6%98%AFR%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0x%E3%80%81y%E9%83%BD%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%EF%BC%88x%2By%EF%BC%89%3Df%EF%BC%88x%EF%BC%89%2Bf%EF%BC%88y%EF%BC%89%2C%E5%BD%93x%EF%BC%9E0%E6%97%B6%2Cf%EF%BC%88x%EF%BC%89%EF%BC%9E0%2C%E4%B8%94f%EF%BC%882%EF%BC%89%3D3.%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%81%B6%E6%80%A7%2C%E5%B9%B6%E8%AF%81%E6%98%8E.%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B-1%2C3%5D%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%9F%9F.f%EF%BC%883%EF%BC%89%E4%B8%8D%E6%98%AF%E5%BA%94)
一道抽象函数题目f(x)是R上的函数,对任意的实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3.(1)判断函数的奇偶性,并证明.(2)求函数在区间[-1,3]的值域.f(3)不是应
一道抽象函数题目
f(x)是R上的函数,对任意的实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3.
(1)判断函数的奇偶性,并证明.
(2)求函数在区间[-1,3]的值域.
f(3)不是应该等于4.为什么是3?
一道抽象函数题目f(x)是R上的函数,对任意的实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3.(1)判断函数的奇偶性,并证明.(2)求函数在区间[-1,3]的值域.f(3)不是应
(1)奇函数,证明如下:
令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),∴f(x)+f(-x)=0
∴f(-x)=-f(x),从而f(x)是奇函数.
(2)f(2)=f(1)+f(1),f(2)=3得f(1)=1.5;由(1)知f(-1)=-1.5
f(3)=f(2)+f(1)=3+1.5=4.5
任取x1,x2,且-1≤x10
∴f(x2-x1)>0从而f(x1)-f(x2)
f(x+y)=f(x)+f(y)
令y=0
得 f(x+0)=f(x)+f(0)
所以 f(0)=0
再令 y=-x
得 f(x+-x)=f(x)+f(-x)=0
即 f(x)=-f(-x)
所以 是奇函数
再令 y=x=1
得 f(1+1)=f(1)+f(1)=3
所以 f(1)=1.5
再令x=2 y=-1...
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f(x+y)=f(x)+f(y)
令y=0
得 f(x+0)=f(x)+f(0)
所以 f(0)=0
再令 y=-x
得 f(x+-x)=f(x)+f(-x)=0
即 f(x)=-f(-x)
所以 是奇函数
再令 y=x=1
得 f(1+1)=f(1)+f(1)=3
所以 f(1)=1.5
再令x=2 y=-1
得 f(2+-1)=f(2)+f(-1)
所以 f(-1)=-1.5
根据f(x+y)=f(x)+f(y)可证函数f(x)是增函数
函数在区间[-1,3]的值域【-1.5,4.5】
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