一道奇数相乘的数学题1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3n(4n^2+6n-1)这道题怎么证明?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/16 19:52:25
![一道奇数相乘的数学题1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3n(4n^2+6n-1)这道题怎么证明?](/uploads/image/z/436790-38-0.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%A5%87%E6%95%B0%E7%9B%B8%E4%B9%98%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%981%C3%973%EF%BC%8B3%C3%975%EF%BC%8B5%C3%977%EF%BC%8B.%EF%BC%8B%EF%BC%882n-1%EF%BC%89%282n%2B1%29%3D1%2F3n%284n%5E2%EF%BC%8B6n-1%EF%BC%89%E8%BF%99%E9%81%93%E9%A2%98%E6%80%8E%E4%B9%88%E8%AF%81%E6%98%8E%3F)
一道奇数相乘的数学题1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3n(4n^2+6n-1)这道题怎么证明?
一道奇数相乘的数学题
1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3n(4n^2+6n-1)这道题怎么证明?
一道奇数相乘的数学题1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)=1/3n(4n^2+6n-1)这道题怎么证明?
1×3+3×5+5×7+.+(2n-1)(2n+1)
=(4*1²-1)+(4*2²-1)+(4*3²-1)+……+(4*n²-1)
=4*(1²+2²+3²+……+n²)-n
=4*n(n+1)(2n+1)/6-n
=(4n²+6n-1)n/3
an=(2n-1)(2n+1)=4n^2-1
所以Sn=4[n(n+1)(2n+1)]/6-n=1/3n(4n^2+6n-1)
里面牵扯到1个平方和定理,不懂hi我
朋友,您好!
解法一:用归纳假设法来证明。具体的先计算当n=1,n=2,n=3时的情况,是否符合原式。再计算当n=k,n=k+1时是否符合,从而得证。
在最后计算n=k,n=k+1时要将算式变形,这里会有点难度。
解法二:an=(2n-1)(2n+1)=4n^2 - 1
Sn=4[n(n+1)(2n+1)]/6 - n
=1/3n(4n^2+6n-1)<...
全部展开
朋友,您好!
解法一:用归纳假设法来证明。具体的先计算当n=1,n=2,n=3时的情况,是否符合原式。再计算当n=k,n=k+1时是否符合,从而得证。
在最后计算n=k,n=k+1时要将算式变形,这里会有点难度。
解法二:an=(2n-1)(2n+1)=4n^2 - 1
Sn=4[n(n+1)(2n+1)]/6 - n
=1/3n(4n^2+6n-1)
解法二的补充:
已知数列通项为n^2 求数列各项和
Sn=n(n+1)(2n+1)/6
就是数列1,4,9,……(n-1)^2,n^2的和为
n(n+1)(2n+1)/6
祝生活愉快!
收起
整理an=(2n-1)(2n+1)=4n^2-1, Sn=4(1^2+2^2+3^2+……n^2)-n;
这里要用到一个重要数列的求和公式,
平方和公式: Sn=1^2+2^2+3^2+……n^2=n/6(n+1)(2n+1);
得到 Sn=4*1/6[n(n+1)(2n+1)]-n=1/3n(4n^2+6n-1)
平方和公式的证明参见 http://baike.baidu.com/view/892600.htm