高中平面几何已知如图,A是⊙O的直径CB延长线上一点,BC=2AB,割线AF交⊙O于E、F,D是OB的中点,且DE⊥AF,连结BE、DF.(1)试判断BE与DF是否平行?请说明理由;(2)求AE:EC的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 02:06:29
![高中平面几何已知如图,A是⊙O的直径CB延长线上一点,BC=2AB,割线AF交⊙O于E、F,D是OB的中点,且DE⊥AF,连结BE、DF.(1)试判断BE与DF是否平行?请说明理由;(2)求AE:EC的值.](/uploads/image/z/4385529-9-9.jpg?t=%E9%AB%98%E4%B8%AD%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%A6%82%E5%9B%BE%2CA%E6%98%AF%E2%8A%99O%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84CB%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2CBC%3D2AB%2C%E5%89%B2%E7%BA%BFAF%E4%BA%A4%E2%8A%99O%E4%BA%8EE%E3%80%81F%2CD%E6%98%AFOB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E4%B8%94DE%E2%8A%A5AF%2C%E8%BF%9E%E7%BB%93BE%E3%80%81DF.%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%95%E5%88%A4%E6%96%ADBE%E4%B8%8EDF%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%B9%B3%E8%A1%8C%3F%E8%AF%B7%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1%EF%BC%9B%282%EF%BC%89%E6%B1%82AE%EF%BC%9AEC%E7%9A%84%E5%80%BC.)
高中平面几何已知如图,A是⊙O的直径CB延长线上一点,BC=2AB,割线AF交⊙O于E、F,D是OB的中点,且DE⊥AF,连结BE、DF.(1)试判断BE与DF是否平行?请说明理由;(2)求AE:EC的值.
高中平面几何
已知如图,A是⊙O的直径CB延长线上一点,BC=2AB,割线AF交⊙O于E、F,D是OB的中点,且DE⊥AF,连结BE、DF.
(1)试判断BE与DF是否平行?请说明理由;
(2)求AE:EC的值.高中平面几何已知如图,A是⊙O的直径CB延长线上一点,BC=2AB,割线AF交⊙O于E、F,D是OB的中点,且DE⊥AF,连结BE、DF.(1)试判断BE与DF是否平行?请说明理由;(2)求AE:EC的值.
(1) 不平行.
首先证明F即过O垂直于AC的的直线与圆的交点(和E同侧),则OF⊥AC.连接AF,交圆于E.
此时只要证明ED⊥AE就证明了F点的位置
作EG⊥AC交于AC于G
令EG=x,据题意,因为RtΔAOF∽RtΔAGE
AE=√5x,AG=2x
连接OE,令OE=r.有OE^2-EG^2=OG^2
即r^2-x^2=(2r-2x)^2
解得:x=3r/5
所以,AE=3√5r/5
ED^2=EG^2+GD^2=x^2+(3r/2-2x)^2
=9r^2/20
ED^2+AE^2=9r^2/20+9r^2/5
=45r^2/20=9r^2/4
=AD^2
∴ 若ED⊥AE,则EG=3r/5,DG=3r/10
BG=BD-GD=r/5
tan∠EBG=EG/BG=(3/5)*5=3
tan∠FDO=2
∠EBG≠∠FDO,即BE与DF不平行
(2) 由(1)可知,AE=3√5r/5,DG=3r/10
GC=9r/5,EG=3r/5
所以,EC^2=EG^2+GC^2=(81+9)r^2/25=3√10r/5
AE:EC=1:√2