已知O为坐标原点,向量OA=(sina,1),OB=(cosa,0),OC=(-sina,2),点P时线段AB上的一点,且点B分有向线段AP的比为1若O,P,C三点共线,求|OA+OB|的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/26 12:46:06
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已知O为坐标原点,向量OA=(sina,1),OB=(cosa,0),OC=(-sina,2),点P时线段AB上的一点,且点B分有向线段AP的比为1若O,P,C三点共线,求|OA+OB|的值
已知O为坐标原点,向量OA=(sina,1),OB=(cosa,0),OC=(-sina,2),点P时线段AB上的一点,
且点B分有向线段AP的比为1若O,P,C三点共线,求|OA+OB|的值
已知O为坐标原点,向量OA=(sina,1),OB=(cosa,0),OC=(-sina,2),点P时线段AB上的一点,且点B分有向线段AP的比为1若O,P,C三点共线,求|OA+OB|的值
分析:若O,P,C三点共线,我们向量共线的充要条件,求出tanα的值,结合|OA+OB|=√[(sina+cosa)²+1]=√﹙sin2a+2﹚,利用万能公式,代入即可求出|OA+OB|的值.
依题意知:A(sinα,1),B(cosα,0),C(-sinα,2),
设点P的坐标为(x,y),
∵点B分有向线段AP 的比为1
∴cosα=(sinα+x)/(1+1) ,0=(1+y)/(1+1),
∴x=2cosα-sinα,y=-1,
∴点P的坐标为(2cosα-sinα,-1)
∵O,P,C三点共线
∴ -1×(-sinα)=2×(2cosα-sinα),
∴tanα=4/3,
∴sin2α=﹙2sinαcosα﹚/﹙sin²α+cos²α ﹚=2tana/﹙1+tan²α﹚ =24/25 ,
∴|OA+OB|=√[(sinα+cosα)²+1]=√﹙sin2α+2﹚=√74/5
点评:本题考查的知识点是正弦型函数的单调性,两角和与差的正弦,二倍角的正弦,二倍角的余弦,三点共线,定比分点坐标公式,解题的关键是根据向量共线的充要条件,求出tanα的值.