如何证明绝对连续函数的倒数也是绝对连续函数设f(x)是闭区间[a,b]上的绝对连续函数,且恒不为零,则1/ f(x)也是绝对连续函数.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 22:16:48
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如何证明绝对连续函数的倒数也是绝对连续函数设f(x)是闭区间[a,b]上的绝对连续函数,且恒不为零,则1/ f(x)也是绝对连续函数.
如何证明绝对连续函数的倒数也是绝对连续函数
设f(x)是闭区间[a,b]上的绝对连续函数,且恒不为零,则1/ f(x)也是绝对连续函数.
如何证明绝对连续函数的倒数也是绝对连续函数设f(x)是闭区间[a,b]上的绝对连续函数,且恒不为零,则1/ f(x)也是绝对连续函数.
证明(定义):
f∈AC[a,b],则f∈C[a,b],又f恒不为零即|f|>0,且f在[a,b]上有最值,则|f|≥m>0,
对任意ε>0,存在δ>0,对任意[a,b]内的开区间族{(ak,bk)}k=1到n,只要∑(k=1,n)(bk-ak)<δ,就有∑(k=1,n)|f(bk)-f(ak)|<m^2 * ε;
则∑(k=1,n)|1/f(bk)-1/f(ak)|=∑(k=1,n)|f(bk)-f(ak)|/|f(ak)*f(bk)|
≤∑(k=1,n)|f(bk)-f(ak)|/m^2<m^2 * ε /m^2=ε,即1/ f(x)也是绝对连续函数,证毕
用反证法。
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