定义域为R的奇函数f(x)是减函数,若0≤θ≤π/2,f(cos^2 θ+2msinθ) +f(-2m-2)>0,求m的范围?麻烦详解 看清题哦

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/27 12:58:07
定义域为R的奇函数f(x)是减函数,若0≤θ≤π/2,f(cos^2 θ+2msinθ) +f(-2m-2)>0,求m的范围?麻烦详解 看清题哦
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定义域为R的奇函数f(x)是减函数,若0≤θ≤π/2,f(cos^2 θ+2msinθ) +f(-2m-2)>0,求m的范围?麻烦详解 看清题哦
定义域为R的奇函数f(x)是减函数,若0≤θ≤π/2,f(cos^2 θ+2msinθ) +f(-2m-2)>0,求m的范围?
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定义域为R的奇函数f(x)是减函数,若0≤θ≤π/2,f(cos^2 θ+2msinθ) +f(-2m-2)>0,求m的范围?麻烦详解 看清题哦
奇函数f(x)单调递减
容易知道：f(0)=0
cos²θ+2msinθ

用分离变量法可避开分类讨论的麻烦:
显然，θ=π/2时，不等式恒成立.
当θ∈[0，π/2)时，不妨设sinθ=t，则
t∈[0，1)，(cosθ)^2=1-t2，
于是，原式化为
1-t2+2mt-2m-2<0
→m>(-1/2)[(1-t)+2/(1-t)]+1.
由于对勾函数f(x)=x+(2/x)在x∈(0，√2]单调递减，
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用分离变量法可避开分类讨论的麻烦:
显然，θ=π/2时，不等式恒成立.
当θ∈[0，π/2)时，不妨设sinθ=t，则
t∈[0，1)，(cosθ)^2=1-t2，
于是，原式化为
1-t2+2mt-2m-2<0
→m>(-1/2)[(1-t)+2/(1-t)]+1.
由于对勾函数f(x)=x+(2/x)在x∈(0，√2]单调递减，
且0<1-t≤1，
∴(1-t)+2/(1-t)≥1+2/1=3，
即其最小值为3.
而m>(-1/2)[(1-t)+2/(1-t)]+1恒成立，
∴m取值范围是m>-1/2，即m∈(-1/2，+∞)。

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