如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,且E在棱PB上(设空间向量)(1)求证:平面AEC⊥平面PDB(法向量 方法)(2) 当PD=√(根号)2AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小(设
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/15 15:11:11
![如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,且E在棱PB上(设空间向量)(1)求证:平面AEC⊥平面PDB(法向量 方法)(2) 当PD=√(根号)2AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小(设](/uploads/image/z/5167046-38-6.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E7%9A%84%E5%BA%95%E9%9D%A2%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%2CPD%E2%8A%A5%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%2C%E4%B8%94E%E5%9C%A8%E6%A3%B1PB%E4%B8%8A%EF%BC%88%E8%AE%BE%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%90%91%E9%87%8F%EF%BC%89%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%B9%B3%E9%9D%A2AEC%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PDB%EF%BC%88%E6%B3%95%E5%90%91%E9%87%8F+%E6%96%B9%E6%B3%95%EF%BC%89%282%29+%E5%BD%93PD%3D%E2%88%9A%EF%BC%88%E6%A0%B9%E5%8F%B7%EF%BC%892AB%E4%B8%94E%E4%B8%BAPB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%E6%97%B6%2C%E6%B1%82AE%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2PDB%E6%89%80%E6%88%90%E7%9A%84%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%EF%BC%88%E8%AE%BE)
如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,且E在棱PB上(设空间向量)(1)求证:平面AEC⊥平面PDB(法向量 方法)(2) 当PD=√(根号)2AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小(设
如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,且E在棱PB上(设空间向量)
(1)求证:平面AEC⊥平面PDB(法向量 方法)
(2) 当PD=√(根号)2AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小(设向量)
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如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,且E在棱PB上(设空间向量)(1)求证:平面AEC⊥平面PDB(法向量 方法)(2) 当PD=√(根号)2AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小(设
(1)
∵ PD ⊥ 面ABCD,AC ∈ 面ABCD
∴ PD ⊥ AC
又∵ ABCD为正方形
∴ AC ⊥ BD
∴ AC ⊥ 面PBD
又∵ AC ∈ 面AEC
∴ 面AEC ⊥ 面PBD
(2)
∵ E为PB的中点时
∴ {AE} = ( {AP}+{AB} )/2 = ( -{DA}+{DP}+{DC} )/2 {AE}表示向量AE
{AC} = {DC}-{DA}
{AE}·{AC} = ( {DC}²+{DA}² )/2 = AB² AB为底面正方形边长
|{AE}| = AB,|{AC}| = √2·AB |{AE}|为向量AE的模
cos< {AC},{AE} > = {AE}·{AC} / |{AE}| |{AC}| = √2 /2
< {AC},{AE} > = 45°
由(1) 中 AC ⊥ 面PBD 知:{AC}为面PDB的法向量
∴ AE与平面PDB所成的角的大小为:90°-45°= 45°