关于质数、完全平方数的奥数题M是一个四位自然数,且M小于2006,N是一个自然数.M-N是一个质数,MN是一个完全平方数.求所有满足条件的M

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 13:02:07
关于质数、完全平方数的奥数题M是一个四位自然数,且M小于2006,N是一个自然数.M-N是一个质数,MN是一个完全平方数.求所有满足条件的M
xUn@,u_`>EvA Ԓ'i D(ᑔ`tflVB(J ̜so`c ǛV!7?b 6:29n =+ϣn޻vZ& = ؑ=EG"6?2gLxIYtvI>QhۅBf",D̟#*NYSA|j//7aI!&ݵr+H/9܋)2 iN2]丐hR`g9'7+CxYn_WY2fi+VMY{̊^/"BP iP85-*_ Ek! HOu$!K:4@q- {ʜ#=NDIrZ̡8Nu$"97HnU}I/Y!jIha30)d)9{PĈ '!;sR)%ztM8tn$XNar/y TIF$?X6@.$6Qx*56ot:0cJu{m g^1'sN+"tgF(yUM?7L8``gM]I>eu(?EPDx"~ŻXxZ_svvy\YZf*o ȲoAdiA(K4ߥ]Eq߮lƞ)~g`rOY@ Kh`f^C#]D GZ9~

关于质数、完全平方数的奥数题M是一个四位自然数,且M小于2006,N是一个自然数.M-N是一个质数,MN是一个完全平方数.求所有满足条件的M
关于质数、完全平方数的奥数题
M是一个四位自然数,且M小于2006,N是一个自然数.M-N是一个质数,MN是一个完全平方数.求所有满足条件的M

关于质数、完全平方数的奥数题M是一个四位自然数,且M小于2006,N是一个自然数.M-N是一个质数,MN是一个完全平方数.求所有满足条件的M
1、因为N-N是一个质数,所以M和N的公约数要么是1,要么是M-N(理由:两数的公约数,必定也是这两数之差的约数.而M-N又是质数,质数的约数只有1和本身);
2、将M和N表示成以下形式:M=a^2*x,N=b^2*y
(任何自然数都可以这么表示,比如7=1^2*7,24=2^2*6,其中x,y中不含除1外的其他完全平方数因子)
因为MN是一个完全平方数,所以上式中xy必定为完全平方数.又因为x,y中不含除1外的其他完全平方数因子,所以必定x=y,所以x是M和N的公约数.根据第1条的分析,x要么等于1,要么等于M-N.
3、假如x=M-N,则有x=M-N=a^2*x-b^2*x=(a^2-b^2)*x,即a^2-b^2=1,矛盾（因为b不能等于0）；
4、所以x=1.由此得,M和N都是完全平方数；
5、已知M,N是完全平方数,又是一个四位自然数且小于2006,不很容易求出M吗?
因为a^2-b^2=(a+b)(a-b),要使M-N是质数,必须使a+b是质数且a-b=1;
所以M可能的值为：
M=34^2=1156;
M=36^2=1296;
M=37^2=1369;
M=40^2=1600;
M=42^2=1764;

m=1156,n=1089
m=1296,n=1225
m=1600,n=1521
m=1764,n=1681

1、因为N-N是一个质数,所以M和N的公约数要么是1,要么是M-N(理由:两数的公约数,必定也是这两数之差的约数.而M-N又是质数,质数的约数只有1和本身);
2、将M和N表示成以下形式:M=a^2*x,N=b^2*y
(任何自然数都可以这么表示,比如7=1^2*7,24=2^2*6,其中x,y中不含除1外的其他完全平方数因子)
因为MN是一个完全平方数,所以上式中xy必定...

全部展开

1、因为N-N是一个质数,所以M和N的公约数要么是1,要么是M-N(理由:两数的公约数,必定也是这两数之差的约数.而M-N又是质数,质数的约数只有1和本身);
2、将M和N表示成以下形式:M=a^2*x,N=b^2*y
(任何自然数都可以这么表示,比如7=1^2*7,24=2^2*6,其中x,y中不含除1外的其他完全平方数因子)
因为MN是一个完全平方数,所以上式中xy必定为完全平方数.又因为x,y中不含除1外的其他完全平方数因子,所以必定x=y,所以x是M和N的公约数.根据第1条的分析,x要么等于1,要么等于M-N.
3、假如x=M-N,则有x=M-N=a^2*x-b^2*x=(a^2-b^2)*x,即a^2-b^2=1，矛盾（因为b不能等于0）；
4、所以x=1.由此得，M和N都是完全平方数；
5、已知M，N是完全平方数，又是一个四位自然数且小于2006，不很容易求出M吗？
因为a^2-b^2=(a+b)(a-b),要使M-N是质数，必须使a+b是质数且a-b=1;
所以M可能的值为：
M=34^2=1156;
M=36^2=1296;
M=37^2=1369;
M=40^2=1600;
M=42^2=1764;
m=1156,n=1089
m=1296,n=1225
m=1600,n=1521
m=1764,n=1681

收起

关于质数、完全平方数的奥数题M是一个四位自然数,且M小于2006,N是一个自然数.M-N是一个质数,MN是一个完全平方数.求所有满足条件的M 设m一个小于2006的四位数,存在正整数n,使得m－n为质数,且mn是一个完全平方数,求满足条件的所有四位数m ()()1,()()()4分别表示一个三位完全平方数和四位完全平方数.它们可能是几? 已知ABCD是个四位数,若两位数AB是个质数,BC是个完全平方数,CA是个质数与一个不为1的完全平方数之积,求所有的四位数 四位数ABCA中,两位数AB是一个质数,BC是一个完全平方数,CA又是一个质数,四位数可能是哪些 四位数ABCA中,两位数AB是一个质数,BC和CA都是一个完全平方数,求这个数 若小于2000的四位数abcd是一个完全平方数,并且两位数ab,cd也是平方数,则这个四位 一道奥数题,思路清晰,用1到9这9个数字各一次,组成一个两位完全平方数,一个三位完全平方数,一个四位完全平方数,那么,其中四位完全平方数最小是? 四位数ABCA中,两位数AB是一个质数,BC和CA都是完全平方数,求这个数 关于完全平方数的题一个六位数,各位数字不是0,是一个完全平方数,前两位,中间两位,末两位都是完全平方数.求此六位数. 2002加上一个两位质数后得到一个完全平方数,则这个质数为多少? 已知ABCA是一个四位数若两位数AB是一个质数,BC是一个完全平方数,CA是一个质数与1个不为1的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数有哪些? P的平方+M的平方=N的平方,其中P味质数,M,N为自然数.求证：2(P+M+1）是完全平方数 用1~9这9个数字各一次,组成一个两位完全平方数一个三位完全平方数,一个四位完全平方数,其中的四位完全方数最小是多少? 用1到9这9个数字各一次,组成一个俩位完全平方数一个三位完全平方数,一个四位完全平方数,其中的四位完全方数最小是多少 有一个四位完全平方数,它的前两位数字相同,后两位数字相同,求这个四位数急 关于自然数的奥数题如果一个4位自然数与17的和,与72的差都是一个完全平方数,那这个4位自然数是多少? 一个有不同数字组成的四位完全平方数,已知其千位数字是2,十位数字是1,且该数是3的,那么这个四位数是几·