如图,AB为⊙O的直径,点C位弧AB的中点,弦CE叫AB于点F,D为AB延长线上的一点,切DE=DF.(1)求证:DE是⊙O的切线;
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/29 16:39:14
![如图,AB为⊙O的直径,点C位弧AB的中点,弦CE叫AB于点F,D为AB延长线上的一点,切DE=DF.(1)求证:DE是⊙O的切线;](/uploads/image/z/5200063-7-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2CAB%E4%B8%BA%E2%8A%99O%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84%2C%E7%82%B9C%E4%BD%8D%E5%BC%A7AB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E5%BC%A6CE%E5%8F%ABAB%E4%BA%8E%E7%82%B9F%2CD%E4%B8%BAAB%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E5%88%87DE%EF%BC%9DDF.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ADE%E6%98%AF%E2%8A%99O%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%3B)
如图,AB为⊙O的直径,点C位弧AB的中点,弦CE叫AB于点F,D为AB延长线上的一点,切DE=DF.(1)求证:DE是⊙O的切线;
如图,AB为⊙O的直径,点C位弧AB的中点,弦CE叫AB于点F,D为AB延长线上的一点,切DE=DF.(1)求证:DE是⊙O的切线;
如图,AB为⊙O的直径,点C位弧AB的中点,弦CE叫AB于点F,D为AB延长线上的一点,切DE=DF.(1)求证:DE是⊙O的切线;
证明:(1)连接AC,如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC(1分)
又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC(3分)
∴CF=BF;(4分)
(2)证法一:作CG⊥AD于点G,
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC,
即AC是∠BAD的角平分线.(5分)
∴CE=CG,AE=AG(6分)
在Rt△BCE与Rt△DCG中,
CE=CG,CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG(HL)
∴BE=DG(7分)
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4,即BE=2(8分)
又△BCE∽△BAC
∴BC2=BE•AB=12(9分)
BC=±2 (舍去负值)
∴BC=2 .(10分)
证法二:∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB
∴∠BEF=∠ADB=90°,(5分)
在Rt△ADB与Rt△FEB中,
∵∠ABD=∠FEB
∴△ADB∽△FEB,则
即 ,∴BF=3EF(6分)
又∵BF=CF,∴CF=3EF
利用勾股定理得:
(7分)
又∵△EBC∽△ECA
则 ,即则CE2=AE•BE(8分)
∴(CF+BF)2=(6-BE)•BE
即(3EF+EF)2=(6-2 EF)•2 EF
∴EF= (9分)
∴BC= .(10分)
1)证明:DE=DF,则∠EDF=∠DFE=∠CFO.
连接OC,OE,OC=OE,则∠OCE=∠OEC.
又点C为半圆AB的中点,则OC⊥AB.
∴∠OCE+∠CFO=90°,则∠OEC+∠EDF=90°,得直线DE是圆O的切线.