设点D、E、F分别是三角形ABC三边AB、BC、CA的中点.求证:向量EA+向量FB+向量DC=0.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 19:01:24
![设点D、E、F分别是三角形ABC三边AB、BC、CA的中点.求证:向量EA+向量FB+向量DC=0.](/uploads/image/z/5203239-15-9.jpg?t=%E8%AE%BE%E7%82%B9D%E3%80%81E%E3%80%81F%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AF%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%89%E8%BE%B9AB%E3%80%81BC%E3%80%81CA%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9.%E6%B1%82%E8%AF%81%3A%E5%90%91%E9%87%8FEA%2B%E5%90%91%E9%87%8FFB%2B%E5%90%91%E9%87%8FDC%3D0.)
设点D、E、F分别是三角形ABC三边AB、BC、CA的中点.求证:向量EA+向量FB+向量DC=0.
设点D、E、F分别是三角形ABC三边AB、BC、CA的中点.求证:向量EA+向量FB+向量DC=0.
设点D、E、F分别是三角形ABC三边AB、BC、CA的中点.求证:向量EA+向量FB+向量DC=0.
又题可知
AE=EC+CA
FB=FC+CB
DC=DB+BC
三项相加:EA+FB+DC=EC+FC+DB+CA+CB+BC=EC+FC+DB+2CF=EC+DB+CF
至此只要证明EC+CF=-BD
又因为EC+CF=EF且def为各边中点
所以|EF|=1/2|AB|=|DB|
又因为EF与DB方向相反
所以EA+FB+DC=0
连结DE
向量ED=向量FB
向量CE=向量EA
在三角形DEC中,向量DC+向量CE+向量ED=0
所以向量EA+向量FB+向量DC=0
向量AB+向量BC=向量AC 可推出
2*向量DB+2*向量EC=2*向量AF 可推
向量DB+向量EC=向量AF
又因为 向量EC=向量BC-向量BE
所以 向量EB+向量BC=向量BE+向量AF
又因为 向量AE=向量AB+向量BE
向量BF=向量BA+向量AF
向量DC=向量DB+向量BC
向量DC=向量AE+向量BF
全部展开
向量AB+向量BC=向量AC 可推出
2*向量DB+2*向量EC=2*向量AF 可推
向量DB+向量EC=向量AF
又因为 向量EC=向量BC-向量BE
所以 向量EB+向量BC=向量BE+向量AF
又因为 向量AE=向量AB+向量BE
向量BF=向量BA+向量AF
向量DC=向量DB+向量BC
向量DC=向量AE+向量BF
所以 向量EA+向量FB+向量DC=0
收起