在三角形ABC中,∠ABC=60度,∠BAC=90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形ABD折起,使∠BDC=90度.设E为BC的中点,求向量AE与向量DB夹角的余弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/07 15:40:23
![在三角形ABC中,∠ABC=60度,∠BAC=90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形ABD折起,使∠BDC=90度.设E为BC的中点,求向量AE与向量DB夹角的余弦值](/uploads/image/z/5239279-55-9.jpg?t=%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0ABC%EF%BC%9D60%E5%BA%A6%2C%E2%88%A0BAC%EF%BC%9D90%E5%BA%A6%2CAD%E6%98%AFBC%E4%B8%8A%E7%9A%84%E9%AB%98%2C%E6%B2%BFAD%E6%8A%8A%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABD%E6%8A%98%E8%B5%B7%2C%E4%BD%BF%E2%88%A0BDC%EF%BC%9D90%E5%BA%A6.%E8%AE%BEE%E4%B8%BABC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E6%B1%82%E5%90%91%E9%87%8FAE%E4%B8%8E%E5%90%91%E9%87%8FDB%E5%A4%B9%E8%A7%92%E7%9A%84%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%80%BC)
在三角形ABC中,∠ABC=60度,∠BAC=90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形ABD折起,使∠BDC=90度.设E为BC的中点,求向量AE与向量DB夹角的余弦值
在三角形ABC中,∠ABC=60度,∠BAC=90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形ABD折起,使∠BDC=90度.
设E为BC的中点,求向量AE与向量DB夹角的余弦值
在三角形ABC中,∠ABC=60度,∠BAC=90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形ABD折起,使∠BDC=90度.设E为BC的中点,求向量AE与向量DB夹角的余弦值
在原△ABC中,令AB=x.
∵∠BAC=90°、∠ABC=60°、AB=x,∴BC=2x、AC=√3x.
∵AD⊥BC,∴由三角形面积公式,容易得到:AD×BC=AB×AC,∴AD=AB×AC/BC=√3x/2,
∴BD=AB/2=x/2,CD=BC-BD=2x-x/2=3x/2.
在三棱锥C-ABD中:
过E作EF∥BD交CD于F.
∵EF∥BD、E是BC的中点,∴F是CD的中点,∴DF=CD/2=3x/4.
由勾股定理,有:AF=√(AD^2+DF^2)=√(3x^2/4+9x^2/16)=√21x/4.
∵E、F是△BCD的中位线,∴EF=BD/2=x/4.
∵BD⊥CD、BD⊥AD,∴BD⊥平面ACD,而AF在平面ACD上,∴BD⊥AF,∴EF⊥AF,
∴tan∠AEF=AF/EF=(√21x/4)/(x/4)=√21,
∴cos∠AEF=√{(cos∠AEF)^2/[(sin∠AEF)^2+(cos∠AEF)^2]}
=√{1/[1+(tan∠AEF)^2]}=√[1/(1+21)]=√22/22,
∴cos(180°-∠AEF)=-cos∠AEF=-√22/22.
∵EF∥BD,∴向量AE与向量DB的夹角=180°-∠AEF,
∴向量AE与向量DB夹角的余弦值为-√22/22.