作业帮已知函数f(x)=(2a^X+a-4)/(2a^x+a) (a＞0,a≠1)是定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明；（3）当x∈（0,1]时,t·f(x)≥2^x-2恒成立,求实数t的取值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/04 10:30:23
![已知函数f(x)=(2a^X+a-4)/(2a^x+a) (a＞0,a≠1)是定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明；（3）当x∈（0,1]时,t·f(x)≥2^x-2恒成立,求实数t的取值](/uploads/image/z/5278653-45-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D%282a%5EX%2Ba-4%29%2F%282a%5Ex%2Ba%29+%28a%EF%BC%9E0%2Ca%E2%89%A01%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%88%A4%E6%96%ADf%28x%29%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%2C%E5%B9%B6%E7%94%A8%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%E5%AE%9A%E4%B9%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E5%BD%93x%E2%88%88%EF%BC%880%2C1%5D%E6%97%B6%2Ct%C2%B7f%28x%29%E2%89%A52%5Ex-2%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0t%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC)
已知函数f(x)=(2a^X+a-4)/(2a^x+a) (a＞0,a≠1)是定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明；（3）当x∈（0,1]时,t·f(x)≥2^x-2恒成立,求实数t的取值
已知函数f(x)=(2a^X+a-4)/(2a^x+a) (a＞0,a≠1)是定义在R上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明；
（3）当x∈（0,1]时,t·f(x)≥2^x-2恒成立,求实数t的取值范围
已知函数f(x)=(2a^X+a-4)/(2a^x+a) (a＞0,a≠1)是定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明；（3）当x∈（0,1]时,t·f(x)≥2^x-2恒成立,求实数t的取值
(1)a=2
由于f是奇函数,于是f(-x)=-f(x),即有(2a^(-x)+a-4)/(2a^(-x)+a) =-(2a^x+a-4)/(2a^x+a) ,
化简 (4a-8)a^x + 2(a-2)^2 + (4a-8)a^(-x)=0.故a=2.
（2）f(x)=(2*2^x-2)/(2*2^x+2)=(2^x-1)/(2^x+1)=1 - 2/(2^x+1).
对于x1 < x2,f(x1)-f(x2)= 2*2^x2*[2^(x1-x2)-1]/(2^x1+1)(2^x2+1) < 0.于是f在定义域上单调增加.
(3)实数t的取值范围是[0,+无穷大).
令y=2^x.当x∈（0,1]时,y的取值范围是(1,2].要求t·f(x)≥2^x-2对x∈（0,1]恒成立,即要求
t(y-1)/(y+1)>=y-2对y∈（1,2]恒成立.即y^2-(t+1)y+t-2=0