A、B是抛物线y^2=2px(p>0)上两点且OA⊥OB求S△AOB的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/03 19:22:41
![A、B是抛物线y^2=2px(p>0)上两点且OA⊥OB求S△AOB的最小值.](/uploads/image/z/5283740-20-0.jpg?t=A%E3%80%81B%E6%98%AF%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%5E2%3D2px%EF%BC%88p%EF%BC%9E0%EF%BC%89%E4%B8%8A%E4%B8%A4%E7%82%B9%E4%B8%94OA%E2%8A%A5OB%E6%B1%82S%E2%96%B3AOB%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.)
A、B是抛物线y^2=2px(p>0)上两点且OA⊥OB求S△AOB的最小值.
A、B是抛物线y^2=2px(p>0)上两点且OA⊥OB求S△AOB的最小值.
A、B是抛物线y^2=2px(p>0)上两点且OA⊥OB求S△AOB的最小值.
由题意可知,A、B两点肯定分别在x轴上下,不妨设A点在上,B点在下.又由y^2=2px(p>0)得y=正负根号2px,则设A(x1,根号2px),B(x2,负根号2px).
则向量AO=(x1,根号2px1),向量BO=(x2,负根号2px2).
又因为OA⊥OB,所以向量AO乘以向量BO等于零,
则x1*x2-根号2px1*根号2px2=0
即x1*x2=2p*根号(x1*x2)
即根号(x1*x2)=2p
即x1*x2=4p^2
OA长度=根号(x1^2+2px1),OB长度=根号(x2^2+2px2)
S△AOB=OA*OB/2
即根号(x1^2+2px1)*根号(x2^2+2px2)/2
根号里面是(x1*x2)^2+2p*(x1*x2)*(x1+x2)+4p^2*x1*x2
又因为x1*x2=4p^2
所以根据基本不等式x1+x2>=2*根号(x1*x2)=4p
当且仅当x1=x2时,x1+x2取最小值4p,则x1=x2=2p
则根号里面的最小值=16*p^4=32*p^4=16*p^4=64*p^4
则S△AOB最小值=根号(64*p^4)/2=4*p^2
解毕,请验收...
(哇,字好难打,凑合看着先吧!哈)
(参数法)可设点A(2pa²,2pa),B(2pb²,2pb).由OA⊥OB可得ab=-1.再由⊿面积的行列式求法得S=2p²|a-b|=2p²|a+(1/a)|≥4p².故Smin=4p².