作业帮已知函数f(x)=a-2/(a的x次方+1),g（x）=1/(f(x)-a)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 20:13:29
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已知函数f(x)=a-2/(a的x次方+1),g（x）=1/(f(x)-a)已知函数f(x)=a-2/(a的x次方+1),g（x）=1/(f(x)-a)
^是次方
1) 对任意x∈R,f(x)=a-2/(2^x+1)
且f(-x)=a-2/(2^(-x)+1)=a-2/((2^x+1)/2^x)=a-2*2^x/(2^x+1)
由于f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a-2*2^x/(2^x+1)=-a+2/(2^x+1)
则2a=(2*2^x+2)/(2^x+1)=2,所以a=1
2) g(x)=1/(f(x)-a)=1/(a-2/(2^x+1)-a)=-(2^x+1)/2
令2^x=u (u>0),则2^(2x)=(2^x)^2=u^2
则g(x)=-(u+1)/2,而g(2x)=-(u^2+1)/2
已知g(2x)-a*g(x)=0,即-(u^2+1)/2-a*(u+1)/2=0,得u^2+au+(a+1)=0
由于u=2^x,2^x是一个单调函数,所以任意一个u只对应一个x
对于x,方程有唯一实数解,则对于u,方程也有唯一实数解
但是u=2^x>0,所以要求方程只有一个正实数解,这里要用到一个“根的分布”的模型
令二次函数h(u)=u^2+au+(a+1),则h(u)与x轴交点的情况即为原方程解的情况
原方程要求只有一个正实数解,所以h(u)和x正半轴只能有一个交点,分类讨论：
1° h(u)与x轴只有一个交点,该交点在x正半轴上
由于h(u)开口向上,则要求△=0,且对称轴在y轴右侧
即a^2-4(a+1)=0,-a/2>0,解得x=2-2√2
2° h(u)与x轴有两个交点,但只有一个交点在x正半轴上
由于h(u)开口向上,则要求△>0,h(0)≤0,且对称轴在y轴右侧
即a^2-4(a+1)>0,a+1≤0,-a/2>0,解得x≤-1
综上所述,x≤-1或x=2-2√2
3) 不存在
2^x单调增,则2^x+1单调增,则2/(2^x+1)单调减,则-2/(2^x+1)单调增
所以f(x)=2-2/(2^x+1)单调增,而f(x)的定义域与值域都为[m,n] (m<n<0)
则f(m)=m,f(n)=n,即x=2-2/(2^x+1)有两个不等的负实数解
这是不可能的,原因是方程的左边为x,要求为负实数
而注意方程的右边,2^x>0,2^x+1>1,所以2/(2^x+1)<2,则2-2/(2^x+1)>0
即方程的右边为正实数
由于左边<0,右边>0,方程x=2-2/(2^x+1)不可能有两个不等的负实数解
则这样的m、n就不存在了
