点P在圆 (x-2)^2+y^2=1 上,点Q在抛物线 y^2=2x+2 上.求 |PQ| 最小值和对应 Q 点坐标
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 03:43:24
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点P在圆 (x-2)^2+y^2=1 上,点Q在抛物线 y^2=2x+2 上.求 |PQ| 最小值和对应 Q 点坐标
点P在圆 (x-2)^2+y^2=1 上,点Q在抛物线 y^2=2x+2 上.求 |PQ| 最小值和对应 Q 点坐标
点P在圆 (x-2)^2+y^2=1 上,点Q在抛物线 y^2=2x+2 上.求 |PQ| 最小值和对应 Q 点坐标
用切线平行的方法解答
对圆求导
y'=(2-x)/y
设切点P(x1,y1)
k1=(2-x1)/y1
切线方程:y=1/y1*[(2-x1)x+x1^2+y1^2-2x1]
对抛物线求导:
y'=1/y
设Q(x2,y2)
k2=1/y2
切线方程:y=1/y2*(x-x2)+y2
当k1=k2,且P、Q与圆心(2,0)在同一条直线上时,|PQ|最小
所以(2-x1)/y1=1/y2
y2/(x2-2)=y1/(x1-2)
消去y1,y2得
x2=1
y2=±2
现只做y2=2时
所以y1=2√5/5
x1=2+√5/5
|PQ| 最小=根号(6-6√5/5)
Q(1,2)或(1,-2)
方法对,
数有点麻烦,我给你个思路吧
圆的圆心是(2,0),半径是1
我们不妨设一个圆心是(2,0),半径为r的圆,
由此可得出这个圆的方程是(x-2)²+y²=r²
再假设这个圆与抛物线相切,我们求出此时r=?
用r减去原来圆的的半径1,就是|PQ|的最小值了用此方法算得最小值为 √5-1, 与楼下答案不同. 不知道何者正确我们老师就是...
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数有点麻烦,我给你个思路吧
圆的圆心是(2,0),半径是1
我们不妨设一个圆心是(2,0),半径为r的圆,
由此可得出这个圆的方程是(x-2)²+y²=r²
再假设这个圆与抛物线相切,我们求出此时r=?
用r减去原来圆的的半径1,就是|PQ|的最小值了
收起
PQ的距离即点P到抛物线的距离:r
设: (x-2)^2+y^2=r^2
又 y^2=2x+2
假设这个圆与抛物线相切,即:当方程唯一解时,r取得最小值时,即PQ的值最小
(x-2)^2+y^2=r^2
可设:x=2+rcosA,y=rsinA代入y^2=2x+2,得
r^2sin^2(A)=4+2rcosA+2
解出最小r...
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PQ的距离即点P到抛物线的距离:r
设: (x-2)^2+y^2=r^2
又 y^2=2x+2
假设这个圆与抛物线相切,即:当方程唯一解时,r取得最小值时,即PQ的值最小
(x-2)^2+y^2=r^2
可设:x=2+rcosA,y=rsinA代入y^2=2x+2,得
r^2sin^2(A)=4+2rcosA+2
解出最小r
用r减去原来圆的的半径1,就是|PQ|的最小值,Q坐标就代入:x=2+rcosA,y=rsinA
或者你可以联立 (x-2)^2+y^2=r^2,r取得最小值时,即PQ的值最小
y^2=2x+2
当取得唯一解的时候就是
收起