再矩形ABCD中,E是AD中点.EF垂直EC交AB于F,连接FC.(AB大于AF)1,三角形AEF与三角形EFC是否相识,证明或说明理由.2,设AB:BC=K.是否存在这样的K值使AEF相似于BFC,证明
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/06 15:06:29
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再矩形ABCD中,E是AD中点.EF垂直EC交AB于F,连接FC.(AB大于AF)1,三角形AEF与三角形EFC是否相识,证明或说明理由.2,设AB:BC=K.是否存在这样的K值使AEF相似于BFC,证明
再矩形ABCD中,E是AD中点.EF垂直EC交AB于F,连接FC.(AB大于AF)1,三角形AEF与三角形EFC是否相识,证明或说明理由.2,设AB:BC=K.是否存在这样的K值使AEF相似于BFC,证明
再矩形ABCD中,E是AD中点.EF垂直EC交AB于F,连接FC.(AB大于AF)1,三角形AEF与三角形EFC是否相识,证明或说明理由.2,设AB:BC=K.是否存在这样的K值使AEF相似于BFC,证明
考点:相似三角形的判定;矩形的性质.专题:探究型.分析:(1)要求两三角形相似,已知条件有一组直角,我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似,根据FE⊥EC,因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角,因此∠AEF=∠DCE,我们只要再得出∠BCE=∠FCD即可,可通过构建全等三角形来求解,延长FE交CD于G,我们不难得出△AEF和△GED全等,那么EF=EG,再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等,即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF,于是就凑齐了两三角形相似的条件.
(2)要想使两三角形相似,已知的条件有一组直角,那么分两种情况进行讨论:
当∠AFE=∠FCB时,那么∠AFE就和∠BFC互余,因此∠EFC就是直角,而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的.
当∠AEF=∠FCB时,AE:BC=AF:BF,那么由于E是AD中点,因此BC=2AE,所以我们可得出BF=2AF,即AB=3AF,又根据(1)中AF=GD,AB=CD,我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似,得出关于GD、ED、DC的比例关系,也就是AF、AB、AE的比例关系,有了AB=3AF,就能求出ED与AF的比例关系,也就求出了BC与AF的比例关系,以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系,也就求出了k的值.(1)△AEF∽△ECF.证明如下:
延长FE与CD的延长线交于G,
∵E为AD的中点,AE=DE,∠AEF=∠GED,
∴Rt△AEF≌Rt△DEG.∴EF=EG.
∵CE=CE,∠FEC=∠CEG=90°,
∴Rt△EFC≌Rt△EGC.
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC.
又∠A=∠FEC=90°,
∴Rt△AEF∽Rt△ECF.
(2)设AD=2x,AB=b,DG=AF=a,则FB=b-a,
∵∠GEC=90°,ED⊥CD,
∴ED2=GD•CD
∴x2=ab,
假定△AEF∽△BFC,则有两种情况:
一是∠AFE=∠BCF;则∠AFE与∠BFC互余,于是∠EFC=90°,因此此种情况是不成立的.
二是∠AFE=∠BFC.
根据△AEF∽△BFC,
于是: AF除以AE= BFBC,即 a除以x= b-a除以2x,得b=3a.
所以x2=ab=3a2,因此x= 3a,
于是k= AB除以BC= b除以2x= 3a除以(2乘根号3a)= 根号3除以2.点评:本题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定和性质,根据相似三角形得出相关线段间的比例关系是解题的关键.
1 相似,角A=角FEC,角AEF=角DCE.
2 不存在,证明:三角形AEF相似于DCE,反证法如果AEF相似于BFC,则BFC相似于DCE,则三角形FEC不存在,所以不存在该k值。
如图所示