设A为m x n矩阵,n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,c为对应的齐次AX=0的一个非零解,证明若r(A)=n-1,则向量组c,n1,n2线性相关.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 22:06:31
![设A为m x n矩阵,n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,c为对应的齐次AX=0的一个非零解,证明若r(A)=n-1,则向量组c,n1,n2线性相关.](/uploads/image/z/5389783-7-3.jpg?t=%E8%AE%BEA%E4%B8%BAm+x+n%E7%9F%A9%E9%98%B5%2Cn1%2Cn2%E4%B8%BA%E9%9D%9E%E9%BD%90%E6%AC%A1%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84Ax%3Db%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E8%A7%A3%2Cc%E4%B8%BA%E5%AF%B9%E5%BA%94%E7%9A%84%E9%BD%90%E6%AC%A1AX%3D0%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%9D%9E%E9%9B%B6%E8%A7%A3%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E8%8B%A5r%28A%29%3Dn-1%2C%E5%88%99%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84c%2Cn1%2Cn2%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%9B%B8%E5%85%B3.)
设A为m x n矩阵,n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,c为对应的齐次AX=0的一个非零解,证明若r(A)=n-1,则向量组c,n1,n2线性相关.
设A为m x n矩阵,n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,c为对应的齐次AX=0的一个非零解,证明若
r(A)=n-1,则向量组c,n1,n2线性相关.
设A为m x n矩阵,n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,c为对应的齐次AX=0的一个非零解,证明若r(A)=n-1,则向量组c,n1,n2线性相关.
因为n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,
故An1=b,An2=b.且n1不=n2.
则An1-An2=A(n1-n2)=0
即n1-n2也是齐次AX=0的一个非零解.
又因为c为对应的齐次AX=0的一个非零解,故Ac=0.
由于r(A)=n-1,故齐次AX=0的基础解系中只有n-(n-1)=1个非零向量,不妨设为d.
则n1-n2=k1*d,c=k2*d.且k1,k2均不等于0.
所以有k2*n2-k2*n1-k1*c=k2*(n2-n1)-k1*c=0.
故向量组c,n1,n2线性相关.
r(A)=N-1,
则AX=0的解S=n-(n-1)=1,即是C
因为n1,n2,为非其次线性方程组的解,则
n1-n2为其次方程组AX=0的解
即n1-n2=kc,k≠0
所以C,n1,n2,线性相关
因为 r(A)=n-1
所以Ax=0 的基础解系含 n-r(A) = 1 个解向量
所以 c, n1-n2 线性相关
故存在不全为0的数 k1,k2 使得 k1c+k2(n1-n2)=0
即 k1c+k2n1-k2n2=0
所以存在不全为0的数 k1,k2,-k2 满足 k1c+k2n1-k2n2=0
由线性相关的定义知 c,n1,n2 线性相关.