求y=x+√(1-x^2)的值域 用换元法

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 17:42:33
求y=x+√(1-x^2)的值域 用换元法
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求y=x+√(1-x^2)的值域 用换元法
求y=x+√(1-x^2)的值域 用换元法

求y=x+√(1-x^2)的值域 用换元法
（本方法数形结合,易于理解,方便掌握,希望你能深刻体会）
先求定义域：1-x^2>=0 得到 -1=设m=x ,n=√(1-x^2) 可知 -1==0
这样原函数化为y=m+n 且m^2+n^2=1, -1==0
现在可知这相当于一个线性规划,只不过把平常的平面可行域换成了一个上半圆
那么运用跟平常线性规划一样的方法,n=-m+y,画画图,可知
当直线与圆相切时,y有最大值√2
当直线过左边端点时,y有最小值-1
综上,y的取值范围是[-1,√2]
本题也可以采用三角换元,再限定角范围利用三角函数来求,但本质是一样的
还有不懂的请 h i 我,学习愉快^_^

由√(1-x^2)得 1-x²≥0 -1≤x≤1
令sinα=x α∈【-π/2，π/2】则
y=sinα+√（1-sin²α）
=sinα+|cosα|
=sinα+cosα
=√2×√2/2sinα+√2×√2/2cosα
=√2sin（α+π/4）
最大值为α=π/4时得√2，最小值为...

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由√(1-x^2)得 1-x²≥0 -1≤x≤1
令sinα=x α∈【-π/2，π/2】则
y=sinα+√（1-sin²α）
=sinα+|cosα|
=sinα+cosα
=√2×√2/2sinα+√2×√2/2cosα
=√2sin（α+π/4）
最大值为α=π/4时得√2，最小值为α=-π/2时 为-1，值域【-1，√2】免费数学习题试题学习下载math.jxt123.网com

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y=x+√(1-x^2)
x=cosu 且0y=cosu+sinu
=√2sin(u+45)
u=45,y=√2
u=180度时,y=-1
-1<=y<=√2
值域[-1,√2]

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