已知数列an=1/(3^n-n-1)的前n项和为Sn,证明:Sn<2对任意n∈N+都成立.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 17:23:14
已知数列an=1/(3^n-n-1)的前n项和为Sn,证明:Sn<2对任意n∈N+都成立.
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已知数列an=1/(3^n-n-1)的前n项和为Sn,证明:Sn<2对任意n∈N+都成立.
已知数列an=1/(3^n-n-1)的前n项和为Sn,证明:Sn<2对任意n∈N+都成立.

已知数列an=1/(3^n-n-1)的前n项和为Sn,证明:Sn<2对任意n∈N+都成立.
a1=1/(3-1-1)=1
a(n+1)/an=(3ⁿ-n-1)/[3^(n+1)-(n+1)-1]
=(1/3)[3^(n+1)-3n-3]/[3^(n+1)-(n+1)-1]
=(1/3)[3^(n+1)-(n+1)-1-2n-1]/[3^(n+1)-(n+1)-1]
=(1/3){1 -(2n+1)/[3^(n+1)-(n+1)-1]}
=1/3 - (2n+1)/[3^(n+2)-3(n+1)-3]
(2n+1)/[3^(n+2)-3(n+1)-3]>0
1/3 - (2n+1)/[3^(n+2)-3(n+1)-3]