若 x、y∈R+,x+9y=12,则 xy 有最大值为

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/06 22:12:39
若 x、y∈R+,x+9y=12,则 xy 有最大值为
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若 x、y∈R+,x+9y=12,则 xy 有最大值为
若 x、y∈R+,x+9y=12,则 xy 有最大值为

若 x、y∈R+,x+9y=12,则 xy 有最大值为
x+9y=12≥2√(9xy)
√xy≤2
xy≤4

用基本不等式,x+9y=12≥2√(9xy)
可以得到√xy≤2
所以xy≤4

4

令9y = t
x + t = 12, 由xt <= (x + t)² /4=36, 所以xt 有最大值36,
因为xt = 9xy,所以xy有最大值4. 当x = 6, y= 2/3是取得这个最大值。

(x+9y)/2 >= √9xy
将x+9y=12代入上式,得
√xy <=2
xy<=4

答案是:4 因为x+9y=12大于或等于2倍的根号9x*y所以根号x*y小于或等于4 因此最大值是4

直接得到X=12-9y,xy=(12-9y)y配方得到最大值4

xy
=(12-9y)y
=12y-9y^2
=9(4y/3-y^2)
=9[-(2/3)^2+4y/3-y^2]+9(2/3)^3
=-9(y-2/3)^2+4
≤4

构造拉格朗日函数:xy-λ(x+9y-12)=0
分别对x、y、λ求导,令导数等于0,得出:
y-λ=0;
x-9λ=0;
x+9y-12=0
解三元一次方程组得出:y=3/2,x=27/2,max(xy)=81/4