x^2+2xy-y^2=7,求x^2+y^2最小值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/06 20:02:47
x^2+2xy-y^2=7,求x^2+y^2最小值
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x^2+2xy-y^2=7,求x^2+y^2最小值
x^2+2xy-y^2=7,求x^2+y^2最小值

x^2+2xy-y^2=7,求x^2+y^2最小值
三个解法∶解法一：三角代换
设x=Rcost,y=Rsint,则x²+y²=R²
由已知x²+2xy-y²=7可得
R²【[cos²(2t)-sin²(2t)]+2sintcost】=7
R²【cos(2t)+sin(2t)】=7
R²·√2sin(2t+45°)=7
当sin(2t+45°)取最大值1时,x²+y²=R²有最小值(7/2)√2
注：asint+bcost=√(a²+b²) sin(t+γ) 【tanγ=b/a】
解法二：判别式法
设x²+y²=S,则x²+2xy-y²=7(x²+y²)/S
即 (S-7)x²+2Sxy-(S+7)y²=0
1）当y=0时,x²=7,x²+y²=S=7
2）当y≠0时,上式化为(S-7)(x/y)²+2S(x/y)-(S+7)=0 【两边同除以y²】
①S=7时,x²=7/5,y²=28/5
②S≠7时,△=4S²+4(S+7)(S-7)≥0
S²≥49/2,S≥(7/2)√2
所以x²+y²最小值(7/2)√2
解法三：利用待定系数法构造均值不等式
对2xy放缩：
2xy=2·(kx)·(y/k)≤k²x²+(y²/k²)
∴x²+k²x²+(y²/k²)-y²≥x²+2xy-y²=7
即 (k²+1)x²+[(1/k²)-1]y²≥7
构造 k²+1=(1/k²)-1,
即k²=√2-1时
有 √2x²+√2y²≥7
x²+y²≥(7/2)√2∴当(√2-1)x=y/(√2-1)时取等号
∴x²+y²最小值(7/2)√2

求（3x^+y^-5xy）-【2x^-（-4xy-y^+7x^）】=? 求（3x^+y^-5xy）-【2x^-（-4xy-y^+7x^）】=? 已知x=3y,试求（x-y)^2+2xy-y^2/x^2+7xy+y^2 已知x=3y,试求(x-y)^2+2xy-y^2/x^2+7xy+y^2 已知X+y=6,xy=7 求x^2y+xy^2=已知X+y=6,xy=7 x^2y+xy^2 f(x+y,x-y)=(x^2-y^2)/2xy,求f(x,y)! 正数x,y满足x-y=2xy,求x-y/x+y的值. f(x+y,x-y)=2xy(x-y),求f(x,y) x^2+xy+x=36,y^2+xy+y=20,求x+y. 若x^2+xy+y=14,y^2+xy+x=28,求x+y 如果x^2+xy+y-14,y^@+xy+x=28,求x+y的值. f(xy,x-y)=x^2-xy+y^2.求f(x,y) 已知x*x-4xy+4y*y=0 求[2x(x+y)-y(x+y)]/(4x*x-4xy+y*y)的值? x^2-y^2=xy 求x/y, x,y为正整数,且x^2-xy-2y^2=7,求x,y x,y为正整数,且x^2-xy-2y^2=7,求x,y x+y+2xy=83求x+y=? 已知x*x+xy-2y*y=7 求整数x y的值