数论题,如图,求证如果u跟v不同为奇数且没有公因子,图中的a,b,c必没有公因子.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 06:50:19
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数论题,如图,求证如果u跟v不同为奇数且没有公因子,图中的a,b,c必没有公因子.
数论题,
如图,求证如果u跟v不同为奇数且没有公因子,图中的a,b,c必没有公因子.
数论题,如图,求证如果u跟v不同为奇数且没有公因子,图中的a,b,c必没有公因子.
很简单 若 a b c有公因子m
那么a+c和c-a也有公因子m即2v^2|m 2u^2|m 因为v u的奇偶性 决定了a和c都是奇数 所以m必为奇数就是说 u^2和v^2有公因子
而u v没有公因子可以推出u^2和v^2没有公因子这里矛盾 所以a b c没有公因子
勾股方程
先来a,b.反证法设(a,b)=d不为1,a=v^2-u^2,b=uv,
则d|uv,这样d|u,或d|v,不妨设
d|u,
则d|u^2,因为d|a,所以d|v^2,这样必有一个数e|v,其中e|d,e不为1,
这样e|u,与(u,v)=1矛盾
所以(a,b)=1,
然后证(a,c)=1,因为(a,c)=(a,a+c)=(v^2-u^2,2u^2)...
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先来a,b.反证法设(a,b)=d不为1,a=v^2-u^2,b=uv,
则d|uv,这样d|u,或d|v,不妨设
d|u,
则d|u^2,因为d|a,所以d|v^2,这样必有一个数e|v,其中e|d,e不为1,
这样e|u,与(u,v)=1矛盾
所以(a,b)=1,
然后证(a,c)=1,因为(a,c)=(a,a+c)=(v^2-u^2,2u^2),再用反证法,其中用到v,u不同为奇数。这样最大公因数d|u^2,以后就自己做了。
最后证(b,c)=1,跟第一个证明一样的。就不说了。
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