作业帮高中数学,三角恒等变换的题目如图,点P在以AB为直径的半圆上移动,且AB=1,过P做圆的切线PC,使得PC=1,连接BC,当P在什么位置时,四边形ABCP的面积为1/2?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/28 08:36:33
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高中数学,三角恒等变换的题目如图,点P在以AB为直径的半圆上移动,且AB=1,过P做圆的切线PC,使得PC=1,连接BC,当P在什么位置时,四边形ABCP的面积为1/2?
高中数学,三角恒等变换的题目
如图,点P在以AB为直径的半圆上移动,且AB=1,过P做圆的切线PC,使得PC=1,连接BC,当P在什么位置时,四边形ABCP的面积为1/2?
高中数学,三角恒等变换的题目如图,点P在以AB为直径的半圆上移动,且AB=1,过P做圆的切线PC,使得PC=1,连接BC,当P在什么位置时,四边形ABCP的面积为1/2?
设∠PAB=x,因为A,P,C,B组成四边形,所以0＜x＜90°.
四边形ABCP的面积是Rt△PAB的面积与△PBC面积之和.
Rt△APB中,AP=cosx,PB=sinx,所以Rt△PAB的面积是1/2sinxcosx=1/4sin2x.
△PBC的面积是1/2×PC×PB×sinx=1/2(sinx)^2=1/4-1/4cos2x.
所以四边形APCB的面积是1/4sin2x+1/4-1/4cos2x=1/4(1+sin2x-cos2x).
由1/4(1+sin2x-cos2x)=1/2得sin2x-cos2x=1.两边平方得sin2x*cos2x=0.
由sin2x-cos2x=1,sin2x*cos2x=0得sin2x=1,cos2x=0或,所以x=45°.
此时点P的位置是圆弧AB的中点.