一道数学轴对称图形题如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是BC边上的中线,过D点分别做DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证E、F两点关于AD对称.(提示:连接EF,证明AD垂直平分EF)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/08 15:01:27
![一道数学轴对称图形题如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是BC边上的中线,过D点分别做DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证E、F两点关于AD对称.(提示:连接EF,证明AD垂直平分EF)](/uploads/image/z/5560902-54-2.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E9%A2%98%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0B%3D%E2%88%A0C%2CAD%E6%98%AFBC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%BA%BF%2C%E8%BF%87D%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E5%81%9ADE%E2%8A%A5AB%2CDF%E2%8A%A5AC%2C%E5%9E%82%E8%B6%B3%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAE%E3%80%81F%2C%E6%B1%82%E8%AF%81E%E3%80%81F%E4%B8%A4%E7%82%B9%E5%85%B3%E4%BA%8EAD%E5%AF%B9%E7%A7%B0.%EF%BC%88%E6%8F%90%E7%A4%BA%EF%BC%9A%E8%BF%9E%E6%8E%A5EF%2C%E8%AF%81%E6%98%8EAD%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E5%88%86EF%EF%BC%89)
一道数学轴对称图形题如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是BC边上的中线,过D点分别做DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证E、F两点关于AD对称.(提示:连接EF,证明AD垂直平分EF)
一道数学轴对称图形题
如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是BC边上的中线,过D点分别做DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证E、F两点关于AD对称.(提示:连接EF,证明AD垂直平分EF)
一道数学轴对称图形题如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是BC边上的中线,过D点分别做DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证E、F两点关于AD对称.(提示:连接EF,证明AD垂直平分EF)
角B = 角C,角BED = 角CFD = 90°,BD = DC(AD是中线,所以D是中点)
所以△BDE≌△CDF (角角边)
∴ BE = CF,ED=FD
又∵ BE=CF,AB=AC(等腰三角形两腰相等)
所以AE = AF
连接EF 交AD于H
因为ED = FD 且 ED⊥AB,FD 垂直AC
所以角EAH = 角FAH(角平分线上的点到角两边距离相等)
又∵AE=AF 且AH = AH
所以
△AEH ≌△AFH
∴EH = FH,角AHE =角AHF
又∵ 角AHE + 角AHF = 180°(EF是直线)
∴角AHE =角AHF = 90°
所以AD垂直平分EF
所以E、F两点关于AD对称
证毕
证明:因为AD是BC边上的中线,所以BD=CD,又DE⊥AB,DF⊥AC,所以,∠BED=∠CFD=90°,且,∠B=∠C,故△BED≌△CFD。所以BE=CF,易知AB=AC,所以AE=AF,所以△AEF为等腰三角形,由已知可知AD是∠A的角平分线,所以AD垂直平分EF,即E、F两点关于AD对称。
连接EF交AD于O点
∵在△ABC中,∠B=∠C,AD是BC中线且DE和DF分别为D点到AB与AC的垂线
∴在△BED与△CFD中,∠B=∠C,∠BED=∠CFD=90°,BD=CD
∴RT△BED≌RT△CFD
∴ED=FD
又∵AD为△AED与△AFD公共线,且ED=FD,∠AED=∠AFD=90°
∴RT△AED≌RT△AFD
∴∠BA...
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连接EF交AD于O点
∵在△ABC中,∠B=∠C,AD是BC中线且DE和DF分别为D点到AB与AC的垂线
∴在△BED与△CFD中,∠B=∠C,∠BED=∠CFD=90°,BD=CD
∴RT△BED≌RT△CFD
∴ED=FD
又∵AD为△AED与△AFD公共线,且ED=FD,∠AED=∠AFD=90°
∴RT△AED≌RT△AFD
∴∠BAD=∠CAD,AE=AF
∴△EAF为等腰三角形
根据等腰三角形三线合一
∴AO垂直且平分EF,又因为O是AD与EF交点
∴E F两点关于AD对称
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