在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n求数列{(n^2)/an}的前n项和Sn快快帮忙!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/08 06:52:00
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在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n求数列{(n^2)/an}的前n项和Sn快快帮忙!
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n
求数列{(n^2)/an}的前n项和Sn
快快帮忙!
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n求数列{(n^2)/an}的前n项和Sn快快帮忙!
首先我们找到 {an}的通项公式
a(n+1)=2an+2^n
式子两边同除2^(n+1) ,得:
[a(n+1)]/2^(n+1)=(2an)/2^n+1/2 a1/2^1=1/2
这时可知{an/2^n}是一个以1/2为首项,1/2为公差的等差数列,
所以:an/2^n=1/2+1/2*(n-1)
所以:an=n/2*2^n
代入式子得:(n^2)/an = (2n)/2^n =(2n)*(1/2)^n
这是一个等差数列与等比数列相乘的求和问题,有一个基本模式:
首先我们写出Sn的展开式:
Sn=(2*1)/2^1+(2*2)/2^2+(2*3)/2^3+……+[2*(n-1)]/2^(n-1)+(2*n)/2^n
这时,我们把式子乘以等比数列的公比1/2 :
1/2*Sn=(2*1)/2^2+(2*2)/2^3+(2*3)/2^4+……+[2*(n-1)]/2^n+(2*n)/2^(n+1)
这时一个观察出前式减后式可得一个等比和,
所以用前式减后式:
1/2*Sn=(2*1)/2^1+2(1/2^2+1/2^3+……+1/2^n)-(2*n)/2^(n+1)
此时,我们求和就很容易了,最终Sn=4-(2n+4)/2^n
a(n+1)=2an+2^n (两边同除以2^(n+1) )
a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+1/2
a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=1/2
所以an/2^n是以a1/2=1/2为首相d=1/2为公差的等差数列
an/2^n=1/2+(1/2)(n-1)=n/2
所以an=n*2^(n-1)
(n^2)/an=(n^2)/n*2^(n-1)