已知椭圆T:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),直线l1:y=k1x+p交椭圆T于C、D两点,交直线l2:y=k2x于E点,若k1·k2= -b²/a²,问E是否是CD的中点,若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 08:42:13
![已知椭圆T:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),直线l1:y=k1x+p交椭圆T于C、D两点,交直线l2:y=k2x于E点,若k1·k2= -b²/a²,问E是否是CD的中点,若是,请给出证明;若不是,请说明理由.](/uploads/image/z/5631928-16-8.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86T%EF%BC%9Ax%26%23178%3B%2Fa%26%23178%3B%2By%26%23178%3B%2Fb%26%23178%3B%3D1%28a%3Eb%3E0%29%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFl1%3Ay%3Dk1x%2Bp%E4%BA%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86T%E4%BA%8EC%E3%80%81D%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E4%BA%A4%E7%9B%B4%E7%BA%BFl2%EF%BC%9Ay%3Dk2x%E4%BA%8EE%E7%82%B9%2C%E8%8B%A5k1%C2%B7k2%3D+-b%26%23178%3B%2Fa%26%23178%3B%2C%E9%97%AEE%E6%98%AF%E5%90%A6%E6%98%AFCD%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E8%8B%A5%E6%98%AF%2C%E8%AF%B7%E7%BB%99%E5%87%BA%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9B%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E6%98%AF%2C%E8%AF%B7%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.)
已知椭圆T:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),直线l1:y=k1x+p交椭圆T于C、D两点,交直线l2:y=k2x于E点,若k1·k2= -b²/a²,问E是否是CD的中点,若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
已知椭圆T:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),直线l1:y=k1x+p交椭圆T于C、D两点,交直线l2:y=k2x于E点,若k1·k2= -b²/a²,问E是否是CD的中点,若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
已知椭圆T:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),直线l1:y=k1x+p交椭圆T于C、D两点,交直线l2:y=k2x于E点,若k1·k2= -b²/a²,问E是否是CD的中点,若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
已知椭圆T的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),A(0,b),B(0,-b)和Q(a,0)为T的三个顶点.
设直线l1:y=k1x+p交椭圆T于C,D两点,交直线l2:y=k2x于点E,若k1k2=—b^2/a^2,
证明:E为CD的中点.
证明:椭圆方程:x²/a²+y²/b²=1即b²x²+a²y²=a²b²
将直线y=k1x+p代入椭圆方程,
整理:(a²k1²+b²)x²+2pk1a²x+a²p²-a²b²=0
韦达定理:x1+x2=-2pk1a²/(a²k1²+b²)
设CD中点为G(x,y)
x=(x1+x2)/2=-pk1a²/(a²k1²+b²)
代入直线y=k1x+p,求得y=pb²/(a²k1²+b²)
所以中点G[-pk1a²/(a²k1²+b²),pb²/(a²k1²+b²)]
联立直线y=k2x和y=k1x+p
解得交点E坐标:(p/(k2-k1),k2p/(k2-k1))
因为k1k2=-b²/a²,所以k2=-b²/a²k1
那么点E的横坐标=p/[-b²/(a²k1)-k1]=-pk1a²/(a²k1²+b²)
纵坐标=[-b²/(a²k1)]p/[-b²/(a²k1)-k1]=pb²/(a²k1²+b²)
由此,可知点G和点E的坐标重合
所以点E是CD的中点
证毕.
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