一道三角函数不等式的数学题跪求解答：已知y=（sinxcosx）/（2+sinx+cosx） （x∈【0,2π】） 求y的最小

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 15:57:31
一道三角函数不等式的数学题跪求解答：已知y=（sinxcosx）/（2+sinx+cosx） （x∈【0,2π】） 求y的最小
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令sinx+cosx=t,x∈[0,2π]
则t=√2sin(x+π/4)
t∈[-√2,√2]
t^2=1+2sinxcosx
则sinxcosx=(t^2-1)/2
y=(t^2-1)/(4+2t)
=[(t+2)^2-4(t+2)+3]/2(t+2)
=(t+2)/2+3/[2(t+2)]-2
令m=t+2,m∈[2-√2,2+√2]
由基本不等式得y=m/2+3/(2m)-2≥√3-2
当且仅当m=√3时等号成立
所以y的最小值是√3-2

令t = sinx + cosx => -根2<=t <=根2
y = 1/2 *(t2-1/t+2)
求导 得出单调性 =>t = 根2时 y最小
ymin = 1/2 * 1/2+根2
ymin =（2-根2)/4

y=（sinxcosx）/（2+sinx+cosx） =(0.5(sinx+cosx)^2-0.5)/（2+sinx+cosx）
设sinx+cosx=a - √2≦a ≦-√2 y=(0.5x^2-0.5)/(x+2)=(0.5(x+2)^2-2(x+2)+1.5)/(x+2)=(x+2)/2+1.5/(x+2)-2
x+2>0 (x+2)/2+1.5/(x+2)-2≧2√0.5*1.5-2=√3-2(并且等号可取，x+2=√3，x=√3-2

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