数学竞赛问题及答案

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数学竞赛问题及答案

数学竞赛问题及答案
..我有江西赛区今年初中的
一. 选择题（每小题 分,共 分）
、设 为质数,并且 和 也都是质数,若记 ,
则在以下情况中,必定成立的是（ ）．
、 都是质数； 、 都是合数；
、 一个是质数,一个是合数； 、对不同的 ,以上各情况皆可能出现．
答案： ．
当 时, 与 皆为质数,而 ,
都是质数；
当质数 异于 时,则 被 除余 ,设 ,于是 ,
,它们都不是质数,与条件矛盾!
、化简 的结果是（ ）．
、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
答案： ．
；
,
因此,原式 ．
、 的末位数字是（ ）．
、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
答案：
的末位数字按 的顺序循环,而 的末位数字按 的顺序循环,
因为 是 形状的数,所以 的末位数字是 ,而 的末位数字是 ,
所以 的末位数字是 ．
、方程 的解的情况是( ).
、无解； 、恰有一解； 、恰有两个解； 、有无穷多个解．
答案： .
将方程变形为 … ①,分三种情况考虑,
若 ,则①成为 ,即 ,得 ；
若 ,则①成为 ,即 ,得 ；
若 ,即 时,则①成为 ,即 ,这是一个恒等式,满足 的任何 都是方程的解,结合以上讨论,可知,方程的解是满足 的一切实数,即有无穷多个解．
、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形,则图中全体正三角形的个数是（ ）．
、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
答案： ．
分类计算：设正六边形的边长为 ,那么,边长为 的正三角形有 个,边长为 的正三角形有 个,边长为 的正三角形有 个,
共计 个．
、设 为整数,并且一元二次方程 有等根 ,
而一元二次方程 有等根 ；
那么,以 为根的整系数一元二次方程是（ ）．
、 ； 、 ；
、 ； 、 ．
答案： ．
由两个方程的判别式皆为 ,有 ,以及
,即：
以及 ,消去 得, ,其整根为 ,
于是 ；因此两个方程分别是： 及 ,
前一方程的等根为 ,后一方程的等根为 ,易得,以 为根的整系数一元二次方程是 ．
二、 填空题（每小题 分,共 分）
、直角三角形 的三条边长分别为 ,若将其内切圆挖去,则剩下部分的面积等于 ．
答案： ．
的面积为 ,又设其内切圆的半径为 ,则由
,所以 ,因此内切圆面积为 ,故剩下部分的面积为 ．
、若 ,
则 （ ）．
答案：（ ）．

,
由 , , ,解得, ；
因此 ．
、如图,正方形 的边长为 , 是 边外的一点,满足： ‖ , ,
则 ．
答案： ．
解: ,设 ,则 , ,
,由 ∽ ,得 ,
即有 ,所以 , ,则 ,
再由 ,即 ,所以 ．
、绕圆周填写了十二个正整数,其中每个数取自 之中（每一个数都可以多次出现在圆周上）,若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是 的倍数,用 表示圆周上所有十二个数的和,那么数 所有可能的取值情况有 种．
答案： 种．
对于圆周上相邻的三个数 , 可以是 ,或 ,或 ,例如,当三数和为 时, 可以取 或 或 ；又对于圆周上任意相邻的四数,若顺次为 ,由于 和 都是 的倍数,那么必有 ,于是 与 或者相等,或者相差 ；
又在圆周上, 与 可互换, 与 可互换；现将圆周分成四段,每段三个数的和皆可以是 ,或 ,或 ,因此四段的总和可以取到 中的任一个值,总共九种情况．
（其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数： ,其和为 ,然后每次将一个 改成 ,或者将一个 改成 ,每一次操作都使得总和增加 ,而这样的操作可以进行八次）．
第 二 试
一、（ 分）试确定,对于怎样的正整数 ,方程 有正整数解?并求出方程的所有正整数解．
将方程改写为 , …………5’
由于 表成两个正整数的平方和,只有两种不同的形式： ……10’
所以,
… ①,或 … ②
… ③,或 … ④ …………15’
由①得 （当 或 ）；由②得 （当 或 ）；
由③得 （当 或 ）； 或 （当 或 ）；
由④得 （当 ）；或 （当 或 ）． …………20’
二、（ 分）锐角三角形 的外心为 ,外接圆半径为 ,延长 ,分别与对边 交于 ；证明： ．
证： 延长 交 于 ,由于 共点 ,
…………5’
则 … ① …………10’
而 ,…………15’
同理有,
, …………20’
代入①得, … ②
所以 ． …………25’
三、（ 分）设 为正整数,证明：
1、如果 是两个连续正整数的乘积,那么 也是两个连续正整数的乘积；
2、如果 是两个连续正整数的乘积,那么 也是两个连续正整数的乘积．
证明：1、如果 是两个连续正整数的乘积,设 ,其中 为正整数,……5’则 为两个连续正整数的乘积； …………10’
2、如果 是两个连续正整数的乘积,设 ,其中 为正整数,则 … ① …………15’
于是, 是 的倍数,且 是奇数；设 ,由①得,
… ② …………20’
因此,
,即 ,它是两个连续正整数的乘积．……25’