f(x)=x/(1+x²),为(-1,1)上的奇函数,求证f(x)为增函数,(-1,1)上的.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 06:25:29
![f(x)=x/(1+x²),为(-1,1)上的奇函数,求证f(x)为增函数,(-1,1)上的.](/uploads/image/z/5886198-54-8.jpg?t=f%28x%29%3Dx%2F%EF%BC%881%2Bx%26sup2%3B%EF%BC%89%2C%E4%B8%BA%EF%BC%88-1%2C1%EF%BC%89%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81f%28x%29%E4%B8%BA%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%EF%BC%88-1%2C1%EF%BC%89%E4%B8%8A%E7%9A%84.)
f(x)=x/(1+x²),为(-1,1)上的奇函数,求证f(x)为增函数,(-1,1)上的.
f(x)=x/(1+x²),为(-1,1)上的奇函数,求证f(x)为增函数,(-1,1)上的.
f(x)=x/(1+x²),为(-1,1)上的奇函数,求证f(x)为增函数,(-1,1)上的.
-1
证明:设-1
=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=[(x1-x2)+x1x2(x2-x1)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=(x1-x2)(1-x1x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)
由于x1-x2<0,x1x2<1,即1-x1x2>0
所以,f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)
因为f(x)是奇函数,所以只需证在(0,1)上是增函数即可
任取x1
Δy=f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2²)-x1/(1+x1²)
=(x2-x1)(1-x1x2)/(1+x2²)(1+x1²)
(x2-x1)>0,又因为x1,x2<1,所以0
f(x)为增函数
-1
=x1/(1+x1²)-x2/(1+x2²)
=(x1+x1x2²-x2-x1²x2)/(1+x1²)(1+x2²)
则分母(1+x1²)(1+x2²)>0
分子x1+x1x2²-x2-x1²x2
=(x1...
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-1
=x1/(1+x1²)-x2/(1+x2²)
=(x1+x1x2²-x2-x1²x2)/(1+x1²)(1+x2²)
则分母(1+x1²)(1+x2²)>0
分子x1+x1x2²-x2-x1²x2
=(x1-x2)-x1x2(x1-x2)
=(x1-x2)(1-x1x2)
x1
即-1
收起
在(-1,1)取x1,x2 且x1小于x2
f(x1)=x1/(1+x1²) f(x2)=x2/(1+x2²)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2²)-x1/(1+x1²)-
=(x2(1+x1²)-x1(1+x2²))/(1+x2²)(1+x1²)
=(x2-x1+x1&sup...
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在(-1,1)取x1,x2 且x1小于x2
f(x1)=x1/(1+x1²) f(x2)=x2/(1+x2²)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2²)-x1/(1+x1²)-
=(x2(1+x1²)-x1(1+x2²))/(1+x2²)(1+x1²)
=(x2-x1+x1²x2-x1x2²)/(1+x2²)(1+x1²)
=(x2-x1)(1-x1x2)/(1+x2²)(1+x1²)
(1+x2²)(1+x1²)>0
在(-1,1)取x1,x2 且x1小于x2
x2-x1>0 1-x1x2>0
所以f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-x1x2)/(1+x2²)(1+x1²)>0
所以f(x)为增函数在(-1,1)上的
收起