作业帮数学题 在三角形ABC中,角ACB=90度,AD是角BAC的平分线,交BC于D,CH是AB边上的高,交AD于F,DE⊥AB于E,求证：四边形CDEF是菱形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 12:39:14
数学题 在三角形ABC中,角ACB=90度,AD是角BAC的平分线,交BC于D,CH是AB边上的高,交AD于F,DE⊥AB于E,求证：四边形CDEF是菱形
数学题 在三角形ABC中,角ACB=90度,AD是角BAC的平分线,交BC于D,CH是AB边上的高,交AD于F,DE⊥AB于E,求证：四边形CDEF是菱形
数学题 在三角形ABC中,角ACB=90度,AD是角BAC的平分线,交BC于D,CH是AB边上的高,交AD于F,DE⊥AB于E,求证：四边形CDEF是菱形
：∵CH⊥AB,DE⊥AB,
∴DE∥CH,
∴∠ADE=∠CFD
∵AD是角平分线,BC⊥AC,DE⊥AB,
∴CD=DE,∠ADC=∠ADE（等角的余角相等）．
∴∠CFD=∠CDF,
∴CF=CD,
∵DF=DF,
∴△FCD≌△FED,
∴CF=EF．
∴CF=EF=DE=CD．
∴四边形CDEF是菱形．
解∵AD平分∠BAC,AC⊥CB,DE⊥AB∴CD＝DE
又CH⊥AB∴CH∥DE∠HCB＝∠EDB,∠CDF＝∠EDF,∠HCB＋∠CDF＝∠EDB＋∠EDF
即∠DFH＝∠FDB,
得，CD＝CF,所以CF＝DE，得出CDEF是平行四边形
从而得出四边形CDEF是菱形。
延长EF做辅助线交AC于G 角EDA+角DAE=90°=角ADC+角DAC 因为角DAE=角DAC 所以
角EDA等于角ADC 角DFC等于角HFA 角EFD等于角CFA 角HFA又等于角AFC 所以
角DFC =角EFD 再加上DF等于FD 可以得知 三角形EFD全等于三角形DFC 所以DE等于DC
角FED等于角FCD
...
全部展开
延长EF做辅助线交AC于G 角EDA+角DAE=90°=角ADC+角DAC 因为角DAE=角DAC 所以
角EDA等于角ADC 角DFC等于角HFA 角EFD等于角CFA 角HFA又等于角AFC 所以
角DFC =角EFD 再加上DF等于FD 可以得知 三角形EFD全等于三角形DFC 所以DE等于DC
角FED等于角FCD
在由平行线间夹角相等知道 角FED等于角HFE 所以角HFE等于角FCD 所以 EF平行于DC
所以CDEF为菱形
收起
：∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CH，
∴∠ADE=∠CFD
∵AD是角平分线，BC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠ADC=∠ADE∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD，
∵DF=DF，
∴△FCD≌△FED，
∴CF=EF．
∴CF=EF=DE=CD．
∴四边形CDEF是菱形的