求函数y=(x^2+2x+1)/x x属于[1,+无穷大)的最小值如题,括号表示分子,分母是x,并有讲解,思路分析,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/30 18:38:11
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求函数y=(x^2+2x+1)/x x属于[1,+无穷大)的最小值如题,括号表示分子,分母是x,并有讲解,思路分析,
求函数y=(x^2+2x+1)/x x属于[1,+无穷大)的最小值
如题,括号表示分子,分母是x,并有讲解,思路分析,
求函数y=(x^2+2x+1)/x x属于[1,+无穷大)的最小值如题,括号表示分子,分母是x,并有讲解,思路分析,
方法一:y=(x^2+2x+1)/x=x+1/x+2
∵x∈[1,+∞)
∴x+1/x≥2√(x*1/x)=2
(当且仅当x=1时取等号)
∴y≥4
∴y=(x^2+2x+1)/x x∈[1,+∞)的最小值为4
方法二:y=(x^2+2x+1)/x=x+1/x+2
设任意x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2
y1-y2=x1+1/x1+2-(x2+1/x2+2)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=[(x1-x2)(x1x2-1)]/x1x2
∵x1<x2∈[1,+∞)
∴y1-y2>0
∴y1>y2
∴y=(x^2+2x+1)/x为增函数
∴当x=1时,y最小为4
方法一:y==(x^2+2x+1)/x =x+1/x+2≥2×√(x×1/x)+2=4
当x=1时取等号。
方法二:求导,y′=1-1/x^2 x属于[1,+无穷大)则1/x^2属于(0,1]
故y′≥0 y单调递增,最小值为x=1时 y=4
先分离常数y=(x^2+2x+1)/x=x+1/x+2≥4
当x=1时取等号
也可用函数单调性来做
y=(x^2+2x+1)/x=x+1/x+2>=2+2=4
当且仅当x=1时取到等号。