2009年全国初中数学联赛(复赛)答案(初三的)四月五号上午的那场,广东省的.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/25 19:51:58
2009年全国初中数学联赛(复赛)答案(初三的)四月五号上午的那场,广东省的.
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2009年全国初中数学联赛(复赛)答案(初三的)四月五号上午的那场,广东省的.
2009年全国初中数学联赛(复赛)答案(初三的)
四月五号上午的那场,广东省的.

2009年全国初中数学联赛(复赛)答案(初三的)四月五号上午的那场,广东省的.
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.已知非零实数a,b 满足 ,则 等于( ).
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
【答】C.
由题设知a≥3,所以,题设的等式为 ,于是 ,从而 =1.
2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).
(A) (B) (C)1 (D)2
【答】A.
因为△BOC ∽ △ABC,所以 ,即
,
所以, .
由 ,解得 .
3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次,记第一次掷出的点数为 ,第二次掷出的点数为 ,则使关于x,y的方程组 只有正数解的概率为( ).
(A) (B) (C) (D)
【答】D.
当 时,方程组无解.
当 时,方程组的解为
由已知,得 即 或
由 , 的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得
共有 5×2=10种情况;或 共3种情况.
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为 .
4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB‖DC, . 动点P从点
B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).
(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B.
根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故
S△ABC= ×8×4=16.
5.关于x,y的方程 的整数解(x,y)的组数为( ).
(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组
【答】C.
可将原方程视为关于 的二次方程,将其变形为

由于该方程有整数根,则判别式 ≥ ,且是完全平方数.
由 ≥ ,
解得 ≤ .于是

0 1 4 9 16

116 109 88 53 4
显然,只有 时, 是完全平方数,符合要求.
当 时,原方程为 ,此时 ;
当y=-4时,原方程为 ,此时 .
所以,原方程的整数解为

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .
【答】3750.
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

两式相加,得 ,
则 .
7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则 的值为 .
如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF .
由题设知 , ,在△FHA和△EFA中,
,
所以 Rt△FHA∽Rt△EFA,
.
而 ,所以 .
8.已知 是满足条件 的五个不同的整数,若 是关于x的方程 的整数根,则 的值为 .
【答】 10.
因为 ,且 是五个不同的整数,所有 也是五个不同的整数.
又因为 ,所以

由 ,可得 .
9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为 的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于 .
【答】 .
如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25 .
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且 .
作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由 ,得CF=x,于是BF=20-x.由于EF‖AC,所以
,
即 ,
解得 .所以 .
10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 .
【答】 .
设报3的人心里想的数是 ,则报5的人心里想的数应是 .
于是报7的人心里想的数是 ,报9的人心里想的数是 ,报1的人心里想的数是 ,报3的人心里想的数是 .所以
,
解得 .
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11.已知抛物线 与动直线 有公共点 , ,
且 .
(1)求实数t的取值范围;
(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.
(1)联立 与 ,消去y得二次方程

有实数根 , ,则 .所以

= = . ②
………………5分
把②式代入方程①得
. ③
………………10分
t的取值应满足
≥0, ④
且使方程③有实数根,即
= ≥0, ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1,解不等式⑤得 ≤ ≤ .
所以,t的取值范围为
≤ ≤ . ⑥
………………15分
(2) 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 时是递增的,所以,当
时, . ………………20分
12.已知正整数 满足 ,且 ,求满足条件的所有可能的正整数 的和.
由 可得 . ,且

………………5分
因为 是奇数,所以 等价于 ,又因为 ,所以 等价于 .因此有 ,于是可得 .
………………15分
又 ,所以 .因此,满足条件的所有可能的正整数 的和为
11+192(1+2+…+10)=10571. ………………20分
13.如图,给定锐角三角形ABC, ,AD,BE是它的两条高,过点 作△ABC的外接圆的切线 ,过点D,E分别作 的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.
解法1:结论是 .下面给出证明. ………………5分
因为 ,所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得

同理可得 .
………………10分
又因为 ,所以有 ,于是可得
. ………………20分
解法2:结论是 .下面给出证明.
……………… 5分
连接DE,因为 ,所以A,B,D,E四点共圆,故
. ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线,所以 . ………………15分
所以, ,于是DE‖FG,故DF=EG.
………………20分
14.n个正整数 满足如下条件: ;
且 中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.
设 中去掉 后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数 , .即 .
于是,对于任意的1≤ ≤n,都有
,
从而 . ………………5分
由于 是正整数,故
. ………………10分
由于
≥ ,
所以, ≤2008,于是n ≤45.
结合 ,所以,n ≤9. ………………15分
另一方面,令 ,…, ,
,则这9个数满足题设要求.
综上所述,n的最大值为9. ………………20分