如何解证高中数学常见空间几何题

如何解证高中数学常见空间几何题
如何解证高中数学常见空间几何题

如何解证高中数学常见空间几何题
第一要建立空间观念,提高空间想像力.从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃,要有一个过程.有的同学自制一些空间几何模型并反复观察,这有益于建立空间观念,是个好办法.有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩,并且判断其中的线线、线面、面面位置关系,探索各种角、各种垂线作法,这对于建立空间观念也是好方法.此外,多用图表示概念和定理,多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”,对于建立空间观念也是很有帮助的.
第二要学好《立体几何》的基础知识和基本技能.要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式,要及时不断地复习前面学过的内容.这是因为《立体几何》内容前后联系紧密,前面内容是后面内容的根据,后面内容既巩固了前面的内容,又发展和推广了前面内容.在解题中,要书写规范,如用平行四边形ABCD表示平面时,可以写成平面AC,但不可以把平面两字省略掉；要写出解题根据,不论对于计算题还是证明题都应该如此,不能想当然或全凭直观；对于文字证明题,要写已知和求证,要画图；用定理时,必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚,自己心中有数而不把它写出来是不行的.要学会用图（画图、分解图、变换图）帮助解决问题；要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法———分析法、综合法、反证法.
第三要不断提高各方面能力.通过联系实际、观察模型或类比平面几何的结论来提出命题；对于提出的命题,不要轻易肯定或否定它,要多用几个特例进行检验,最好做到否定举出反面例子,肯定给出证明.欧拉公式的内容是以研究性课题的形式给出的,要从中体验创造数学知识.要不断地将所学的内容结构化、系统化.所谓结构化,是指从整体到局部、从高层到低层来认识、组织所学知识,并领会其中隐含的思想、方法.所谓系统化,是指将同类问题如平行的问题、垂直的问题、角的问题、距离的问题、惟一性的问题集中起来,比较它们的异同,形成对它们的整体认识.牢固地把握一些能统摄全局、组织整体的概念,用这些概念统摄早先偶尔接触过的或是未察觉出明显关系的已知知识间的联系,提高整体观念.要注意积累解决问题的策略.如将立体几何问题转化为平面问题,又如将求点到平面距离的问题,或转化为求直线到平面距离的问题,再继而转化为求点到平面距离的问题；或转化为体积的问题.要不断提高分析问题、解决问题的水平：一方面从已知到未知,另方面从未知到已知,寻求正反两个方面的知识衔接点———一个固有的或确定的数学关系.要不断提高反省认知水平,积极反思自己的学习活动,从经验上升到自动化,从感性上升到理性,加深对理论的认识水平,提高解决问题的能力和创造性.
空间向量作为新加入的内容,在处理空间问题中具有相当的优越性,比原来处理空间问题的方法更有灵活性.
如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决,如何取向量或建立空间坐标系,找到所论证的平行垂直等关系,所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行；二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等.这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,起到一个抛砖引玉的作用.
以下用向量法求解的简单常识：
1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y,使得 或对空间一定点O有
2、对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若： （其中x＋y＋z=1）,则四点P、A、B、C共面．
3、利用向量证a‖b,就是分别在a,b上取向量 （k∈R）．
4、利用向量证在线a⊥b,就是分别在a,b上取向量 ．
5、利用向量求两直线a与b的夹角,就是分别在a,b上取 ,求： 的问题．
6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： ．
7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离,关键是建立正确的空间直角坐标系,正确表达已知点的坐标．
首先该图形能建坐标系
如果能建
则先要会求面的法向量
求面的法向量的方法是 1.尽量在土中找到垂直与面的向量
2.如果找不到,那么就设n=（x,y,z）
然后因为法向量垂直于面
所以n垂直于面内两相交直线
可列出两个方程
两个方程,三个未知数
然后根据计算方便
取z（或x或y）等于一个数
然后就求出面的一个法向量了
会求法向量后
1.二面角的求法就是求出两个面的法向量
可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积
如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交
那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角
如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交
那么上面两向量的夹角就是所求
2.点到平面的距离就是求出该面的法向量
然后在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影）
求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1
点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求