求证:(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn3)^2+.+(Cnn)^2=(2n)!/[(n!)^2]

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 02:07:43
求证:(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn3)^2+.+(Cnn)^2=(2n)!/[(n!)^2]
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求证:(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn3)^2+.+(Cnn)^2=(2n)!/[(n!)^2]
求证:(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn3)^2+.+(Cnn)^2=(2n)!/[(n!)^2]

求证:(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn3)^2+.+(Cnn)^2=(2n)!/[(n!)^2]
首先,观察两个二项式展开
①(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+...+Cnnx^n
②(1+1/x)^n=Cn0+Cn1(1/x)+Cn2(1/x)^2+...+Cnn(1/x)^n
发现(1+x)^n*(1+1/x)^n的展开式中的常数项,就是所证等式的左边
所以(1+x)^n*(1+1/x)^n
=[(1+x)*(1+1/x)]^n
=(x+2+1/x)^n
=(√x+1/√x)^2n
这个式子展开后的常数项为C(2n,n)=(2n)!/(n!)^2=右边
原题得证