如图,AB为圆O的直径,点C为圆O上异于A、B的一点,PA⊥平面ABC,点A在PB、PC上的射影分别为点E、F.(1)求证:PB⊥平面AFE;(2)若AB=4,PA=3,BC=2,求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球(即点P、A、
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 21:55:49
![如图,AB为圆O的直径,点C为圆O上异于A、B的一点,PA⊥平面ABC,点A在PB、PC上的射影分别为点E、F.(1)求证:PB⊥平面AFE;(2)若AB=4,PA=3,BC=2,求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球(即点P、A、](/uploads/image/z/6630993-9-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2CAB%E4%B8%BA%E5%9C%86O%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84%2C%E7%82%B9C%E4%B8%BA%E5%9C%86O%E4%B8%8A%E5%BC%82%E4%BA%8EA%E3%80%81B%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2CPA%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC%2C%E7%82%B9A%E5%9C%A8PB%E3%80%81PC%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA%E7%82%B9E%E3%80%81F%EF%BC%8E%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APB%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2AFE%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5AB%3D4%2CPA%3D3%2CBC%3D2%2C%E6%B1%82%E4%B8%89%E6%A3%B1%E9%94%A5C-PAB%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF%E4%B8%8E%E6%AD%A4%E4%B8%89%E6%A3%B1%E9%94%A5%E7%9A%84%E5%A4%96%E6%8E%A5%E7%90%83%EF%BC%88%E5%8D%B3%E7%82%B9P%E3%80%81A%E3%80%81)
如图,AB为圆O的直径,点C为圆O上异于A、B的一点,PA⊥平面ABC,点A在PB、PC上的射影分别为点E、F.(1)求证:PB⊥平面AFE;(2)若AB=4,PA=3,BC=2,求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球(即点P、A、
如图,AB为圆O的直径,点C为圆O上异于A、B的一点,PA⊥平面ABC,点A在PB、PC上的射影分别为点E、F.
(1)求证:PB⊥平面AFE;
(2)若AB=4,PA=3,BC=2,求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球(即点P、A、B、C都在此球面上)的体积之比.
如图,AB为圆O的直径,点C为圆O上异于A、B的一点,PA⊥平面ABC,点A在PB、PC上的射影分别为点E、F.(1)求证:PB⊥平面AFE;(2)若AB=4,PA=3,BC=2,求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球(即点P、A、
(1)由已知中PA⊥面ABC,AB是圆O的直径,可得BC⊥PA,BC⊥AC,则BC⊥面PAC,根据线面垂直的性质可得AF⊥BC,结合AF⊥PC可得AF⊥面PBC,再由线面垂直的性质可得PB⊥AF,结合PB⊥AE,由线面垂直的判定定理,即可得到答案.
证明:(1)∵PA⊥面ABC,BC⊂面ABC,
∴BC⊥PA,又AB是圆O的直径,∴BC⊥AC
所以BC⊥面PAC,又因AF⊂面PAC,
所以AF⊥BC,又因AF⊥PC,
所以AF⊥面PBC,又因PB⊂面PBC,
所以PB⊥AF,又因PB⊥AE,所以PB⊥面AFE
(2)VC-PAB=VP-ABC,计算出三角形ABC的面积及高代入棱锥体积公式,即可得到答案,取PB的中点M,根据直角三角形的性质,可得M为三棱锥外接球的球心,求出球半径,代入球的体积公式,即可求出答案.
AC=(AB^2-BC^2)^(1/2)=2(根号3)
三棱锥C-PAB的体积=(1/3)*RT三角形ABC面积*PA
=(1/3)*(1/2)AC*BC*PA
=(1/3)(1/2)*2(根号3)*2*3=2(根号3)
取PB的中点Q,连接QA,QC
在RT三角形PBC中,PQ=BQ=CQ
在RT三角形PAB中,PQ=BQ=AQ
所以:PQ=AQ=BQ=CQ
所以:Q是我们要找的球心,PA为球半径
PA=PB/2=(1/2)(PA^2+AB^2)^(1/2)
=5/2
外接球体积=(4/3)pi*(PA)^3=(125/6)pi
三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球(即点P.A.B.C都在此球面上)的体积之比
= 2(根号3)/[(125/6)pi]
=12(根号3)/(125pi)
1.
PA⊥平面ABC,所以:PA⊥BC
而AB是直径,所以:BC⊥AC
所以:BC⊥平面PAC, 所以:BC⊥AF
而已知AF⊥PC
所以:AF⊥平面PBC, 所以:AF⊥PB
而又已知AE⊥PB
所以:PB⊥平面AFE
2.
AC=(AB^2-BC^2)^(1/2)=2(根号3)
三棱锥C-PAB的体积=(1/3)...
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1.
PA⊥平面ABC,所以:PA⊥BC
而AB是直径,所以:BC⊥AC
所以:BC⊥平面PAC, 所以:BC⊥AF
而已知AF⊥PC
所以:AF⊥平面PBC, 所以:AF⊥PB
而又已知AE⊥PB
所以:PB⊥平面AFE
2.
AC=(AB^2-BC^2)^(1/2)=2(根号3)
三棱锥C-PAB的体积=(1/3)*RT三角形ABC面积*PA
=(1/3)*(1/2)AC*BC*PA
=(1/3)(1/2)*2(根号3)*2*3=2(根号3)
取PB的中点Q,连接QA,QC
在RT三角形PBC中,PQ=BQ=CQ
在RT三角形PAB中,PQ=BQ=AQ
所以:PQ=AQ=BQ=CQ
所以:Q是我们要找的球心,PA为球半径
PA=PB/2=(1/2)(PA^2+AB^2)^(1/2)
=5/2
外接球体积=(4/3)pi*(PA)^3=(125/6)pi
三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球(即点P.A.B.C都在此球面上)的体积之比
= 2(根号3)/[(125/6)pi]
=12(根号3)/(125pi)
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