谁能介绍一下三角形几个心的性质?也即什么重心 垂心 外心 内心 旁心之类的

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 00:41:57
谁能介绍一下三角形几个心的性质?也即什么重心 垂心 外心 内心 旁心之类的
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也即什么重心 垂心 外心 内心 旁心之类的

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重 心 定义：重心是三角形三边中线的交点,可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例.已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F.求证：F为AB中点.证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证.重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.4、三角形内到三边距离之积最大的点.5、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为(( )/3,( )/3)；空间直角坐标系——横坐标：( )/3 纵坐标：( )/3 竖坐标：（）/3 外 心 定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心.外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心.外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等.设,,分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 = ,= ,= ；c= + + 重心坐标：( ( ）/2c,( )/2c,( )/2c ) 垂 心 定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.性质：锐角三角形垂心在三角形内部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部 设,,分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积.=,= ,= ；c= + + 垂心坐标：( /c,/c,/c ) 九点圆 三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆,这个圆为九点圆 〔 或欧拉圆 或 费尔巴哈圆.） 九点圆性质：1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 即：=2：1 2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; 3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切 设,,分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 =,= ,= ；c= + + 垂心坐标：：( ( )/4c,( )/4c,( )/4c ) 欧拉线 定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.欧拉线定理 ：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.欧拉线的性质：1、在任意三角形中,以上四点共线.2、欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.

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